基于APOS 理论下的高中数学概念教学研究——以“直线与平面垂直的判定”概念教学为例

◎俞文锐 （福建省福清华侨中学，福建 福清 350300）

数学概念是学生数学学习的基础和逻辑起点，是发展学生高阶思维的必要条件，但在实际教学中师生过分注重与成绩密切相关的技能训练，往往忽略了数学概念的教学，而APOS 理论是描述概念形成过程的模型，能够为学生深入理解概念提供新的方法，并不断帮助学生感知概念、建立自己的图示，因此，以APOS 理论为指导，探究学生对数学概念的内化过程具有重要的意义．

一、APOS 理论下的高中数学概念教学程序

1．操作阶段

该阶段主要是让学生体验实例，将操作过程内化为一个整体，初步形成新的感性认知．在具体教学实践中，教师应通过问题情境的创设，引导学生联想已有的心理图式，明确所学概念有哪些具体应用，引发学生产生认知冲突，初步形成新的认识．同时，教师还应呈现必要的数量计算，为学生抽象出对事物的认识奠定基础．

2．过程阶段

该阶段主要任务是，引导学生将新知识纳入自己的知识图式，不断发现、归纳、概括、总结出概念的定义．在具体教学实践中，教师应不断启发引导、提出问题，使学生根据操作阶段的认知冲突多角度地感知概念，最终抽象形成概念，并将其形式化和符号化．

3．对象阶段

该阶段主要是让学生界定概念、认识定义的本质属性，形成对概念的整体认识．在具体教学实践中，教师应设置模仿练习、列举正反例、变式练习等题目，以对过程阶段抽象出的概念表述加以矫正，进一步规范形成表述简练、准确的概念，形成本阶段的知识结构，并且，还要进一步界定概念的内涵和外延，得到相关的性质．

4．图式阶段

形成数学概念的综合图式是该阶段的主要任务．在具体教学实践中，教师应引导学生联系自己已有的符号、图形、规则以及知识并不断反思，总结所学内容，从而建立稳定的认知框架，从系统上整体把握概念的本质．

二、APOS 理论下的高中数学概念教学实践

APOS 理论下的高中数学概念教学是一个理论联系实际的过程，而高中立体几何没有点、线、面这样纯粹的概念，所要学习的概念具有高度的直观形象性、严谨的层次性、可操作模拟性等特征，常常是课堂上好像听懂了，但面对一道立体几何题目时却无从着手．立体几何的学习能使学生享受立体几何所带来的美感，能够培养学生多角度观察周围世界的习惯．下面以高中立体几何中“直线与平面垂直的判定”概念为例，深入探究APOS 理论下的高中数学概念教学策略．

1．概念教学的起点——观察归纳

对于直线和平面垂直的位置关系的教学，教师应合理恰当地为学生提供概念的感性素材、实物模型、直观背景等，不断创设学习情境．例如，教师利用幻灯片的形式呈现了旗杆与地面、桥柱与水面的图片，要求学生仔细观察图片中事物之间的位置关系，并以此为契机，要求学生以日常生活场景为例，列举出教学楼大厅顶梁柱与地面、讲台上放置的水杯与讲台面等的位置关系．同时，引导学生应用“平面化”思想将空间中直线与平面的垂直加以转化，使之成为空间中直线与直线垂直的问题，并以不同时间点太阳照射下电线杆的影子为例，抽象出图形，如图1 所示，要求学生思考AB 与BC，AB 与B′C′之间的关系．

图1

2．概念学习的反思——总结反思

为加深学生对所学概念的理解，教师应及时组织以“如何定义一条直线与一个平面垂直”为主题进行讨论，并根据学生讨论情况及时给予补充．然后教师要求学生反复观察图1 中的情形，并以“无数条”还是“任意一条”为关键，要求学生自己思考，从而分析得出直线与平面垂直的特征．然后呈现出以下命题让学生判断：

（1）若l⊥α，则直线l 垂直于平面α 内的任意一条直线．

（2）若直线l 垂直于平面α 内的无数条直线，则l⊥α．

要求学生通过反例的形式，对命题（2）进行深入思考．

3．概念学习的整合——新知再探

为了切实让学生寻找到具有可操作性的判定方法，充分感受思维的魅力，体现“有限”与“无限”之间的辩证关系，教师应根据学生对“直线与平面垂直的判定”概念的掌握程度，因地制宜循循提问，例如，根据定义，是不是证明直线l 与平面α 垂直必须要证明l 与平面α 内所有直线垂直，并呈现出生活中直线与平面垂直的照片，引导学生得出若直线l 与平面内两条相交直线都垂直，则能完全证明这条直线l 与平面垂直．然后，以生活中的折纸试验为例，让学生拿出一张三角形纸片，探究如何将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，如图2 所示，思考为什么当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，才能不偏不倚竖直放置在桌面上，引导学生分析其他翻折“不垂直”的原因，并及时组织学生回顾“两条相交直线确定一个平面” 的知识，推理出若一条直线l 垂直于平面 α内的两条相交直线，则l⊥α，也就是

图2

4．概念学习的提高——应用与发散

在概念学习的提高环节，教师可设计如下练习：

（1）如图3 所示，已知a∥b，a⊥α，求证b⊥α．

图3

（2）如图4 所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1为例，试列举出与平面ABCD 垂直的直线．

图4

（3）如图5 所示，在三棱锥V-ABC 中，VA＝VC，AB ＝BC，K 为AC 的中点，求证AC⊥平面VKB．

图5

同时，以本次学习的收获为主题，要求学生自我总结，并随机邀请学生反馈总结情况，不断补充和完善学生的知识结构，最后，以图示的形式呈现出知识结构图，如图6所示．

图6 “直线与平面垂直的判定”概念图示

总之，概念是知识学习的逻辑起点，而基于APOS 理论下的高中数学概念教学符合学生的认知发展水平，能够按照APOS 理论下的四个阶段所蕴含的内在逻辑关系，逐步揭示出概念的本质，全面凸显出学生的主体性和能动性，但图示的形成绝非一朝一夕，需要教师大力引导并长期帮助学生建构概念图示．只有这样，学生才能更好地掌握所要学习的概念，才能不断提高对数学概念的应用意识．