广东省广州市第二中学 温 晖
《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,在数学课程中要注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识[1].这十个核心词是初中数学核心素养的集中表现.
如何提升学生的数学核心素养,是初中数学专题复习的价值追求.变式教学是中国数学教育的基本经验[2].变式教学有利于学生理解数学本质,形成数学知识技能,提炼数学思想方法,形成数学思维品质,培育学生的数学核心素养.
数学专题复习既要梳理所学知识、完善知识结构,又要揭示数学思想方法、提炼解题模式、完善认知结构、提升学生的数学核心素养.中考数学专题复习课具有两个基本特点:
(1)结构化.数学专题复习课要精选复习专题,通过典例分析和讲解,强化学生对数学双基的理解和掌握,将知识和方法结构化,完善学生的数学知识结构和认知结构.
(2)模式化.数学专题复习课要通过专题演练,优化数学思维方式,强化通性通法和一般解题策略,形成一类问题的解题模式,帮助学生形成知识迁移能力和解决问题能力,提升学生的数学核心素养.
数学专题复习课的主要教学目标是使知识结构化和模式化,提升学生的数学思维能力和数学核心素养.
数学专题复习课的常见操作模式有两种:
先讲后练式:知识梳理——重点评析——问题变式——总结提炼——专题演练.
先练后讲式:解题尝试——典例示范——变式探究——回顾反思——专题演练.
案例几何综合性问题.
教学环节1:解题尝试.
教师先让学生演练题目(依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第87 页例4 改编):已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,则四边形ACBD的周长为____.
(教学意图:复习圆的有关性质及勾股定理.)
解题过程:略.
教学环节2:典例示范.
教师:改变确定点D的条件,增设尺规作图要求,可得如下考题.
例(2019年广州市初中毕业生学业考试第23 题)如图1,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.
(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,求四边形ABCD的周长.
(教学意图:以中考真题梳理几何综合性问题的知识结构,建构解题模式,提升学生的数学核心素养.)
教师:这道题目的解题目标是什么?
生1:第(1)问,在⊙O中作弦CD,使CD=BC.
生2:第(2)问,求四边形ABCD的周长.
师:在第(1)问中,如何作图?
学生得到第(1)问的如下3 种尺规作图.
图1
图2
图3
图4
师:很好!作一条线段等于已知线段,是五个基本作图之一(另四个为:作一个角等于已知角,作一个角的平分线,作一条线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂线).下面来探讨第(2)问的解法,如何求四边形ABCD的周长?
生3:如图2,在RtΔACB中,由勾股定理得BC=由(1)知CD=BC=6,欲求四边形ABCD的周长,需求AD的长.
师:很好!如何求AD的长?
生4:利用三角形中位线定理求AD的长,解题过程如下.
解法1如图5,连接BD,CO交于点E.因为CD=BC=6,即=.由垂径定理,得OC垂直平分BD.
设OE=x,则CE=5-x.在RtΔCBE和RtΔOBE中,由勾股定理得BC2-CE2=BE2=OB2-OE2,即62- (5-x)2=52-x2,解得x=1.4.因为O是AB中点,E是BD中点,所以OE是ΔABD的中位线,所以AD=2OE=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.
生5:利用相似三角形知识求AD的长,解题过程如下.
图5
图6
解法2如图6,延长AD,BC交于点F.因为CD=BC=6,即=.所以∠CAB=∠CAF.因为AB为直径,所以∠ACB=90°,所以∠ACF=180°-∠ACB=90°,又AC=AC,所以ΔACB≌ΔACF.所以AF=AB=10,CF=CB=6.所以BF=BC+CF=12.
因为∠CDF+∠CDA=∠ABF+∠CDA=180°,所以∠CDF=∠ABF,又∠CFD=∠AFB,所以ΔABF∽ΔCFD.所以即DF=7.2.所以AD=AF-DF=10-7.2=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.
生6:构造直角三角形,求AD的长,解题过程如下.
解法3如图7,在AB上截取AG=AD,作CH⊥AB于H,连接CG.因为CD=BC=6,即=,所以∠CAB=∠CAD.易得ΔACD≌ΔACG.所以CG=CD=CB=6.
在RtΔACB中,由面积相等得CH==4.8,所以BH=HG==3.6,AG=AB-2BH=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.
师:很好!本题涉及哪些知识和方法?
生众:本题涉及作一条线段等于已知线段、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等弧所对的圆周角相等、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的周长等基础知识,及方程和转化思想.
教学环节3:变式探究.
学生完成上述考题的解答后,教师引导学生变式探究.
师:将直角三角形改为等腰三角形,改变题目条件与解题目标,可得变式1.
图7
图8
变式1如图8,ΔABC中,AB=AC=BC=8.
(1)利用尺规作以AC为直径的⊙O,并标出⊙O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,
①求证:DE=EC;
②求点D到BC的距离.
(教学意图:强化圆的有关性质和三角形的相关知识,突出几何直观、推理论证和运算求解,增强综合解题能力,进一步提升学生的数学推理与运算素养.)
师:第(1)问需要做什么?
生7:作以AC为直径的⊙O.
师:怎样作以AC为直径的⊙O?
生8:需要确定圆心位置和半径大小.
生9:因为AC为直径,所以AC中点为圆心O,线段OA或OC的长为半径.
学生完成第(1)问作图,如图9.
图9
图10
师:在第(2)问中,如何证明DE=EC?
生10:(证法1)如图10,连接DE,AE.因为AB=AC,所以∠B=∠C.由圆内接四边形的性质,得∠C=∠BDE.所以∠B=∠BDE,所以BE=DE.因为AC是⊙O的直径,所以∠AEC=90°,所以AE⊥BC.又AB=AC,所以BE=EC,所以DE=EC.
生11:(证法2)如图11,连接AE.因为AC是⊙O的直径,所以∠AEC=90°,所以AE⊥BC.因为AB=AC,所以∠BAE=∠CAE,即=,所以DE=EC.
师:很好!下面探讨如何求点D到BC的距离?
生12:如图12,过点D作DF⊥BC于点F,则线段DF的长就是点D到BC的距离.
师:如何求线段DF的长?
生13:在RtΔBFD中求DF,解题过程如下.
图11
图12
解法1如图12,过点D作DF⊥BC于点F,连接CD.因为AB=AC=BC=8,AE⊥BC,所以BE=EC=4.因为DE=EC,所以BE=DE=4.在RtΔAEB中,由勾股定理得AE==8.
因为AE⊥BC,DF⊥BC,∠ABE=∠DBF,所以RtΔAEB∽RtΔDFB,所以即在ΔABC与ΔEBD中,∠ABC=∠EBD,∠ACB=∠EDB,所以ΔABC∽ ΔEBD,所以即所以所以
生14:建立关于BD的方程,求BD的长.
解法2如图13,过点D作DF⊥BC于F,连接CD.因为AB=AC=BC=8,AE⊥BC,所以BE=EC=4.因为DE=EC,所以BE=DE=4.在RtΔAEB中,在RtΔBFD中,sinB=即
设BD=x,则AD=-x.因为AC是⊙O的直径,所以∠ADC=90°,所以∠BDC=90°.在RtΔADC与RtΔBDC中,由勾股定理得AC2-AD2=CD2=BC2—BD2,即解得即所以
师:改变题目条件与解题目标,可得变式2.
图13
图14
图15
图16
变式2(2018年广州市初中毕业生学业考试第23 题)如图14,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,
①证明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
(教学意图:强化三角形中核心知识的运用,突出几何直观、推理论证和运算求解,增强综合解题能力,进一步提升学生的数学推理与运算素养.)
师:能解决第(1)问吗?
生15:能,如图15所示.
师:能证明AE⊥DE吗?请分享解法.
生16:(证法1) 如图16,作EF⊥AD,垂足为F.因为DE平分∠ADC,所以∠FDE=∠EDC.在ΔFDE与ΔCDE中,∠C=∠DFE=90°,∠FDE=∠CDE,DE=DE,所以ΔFDE≌ΔCDE,DF=DC.因为AD=AB+CD,所以AF=AD-FD=AB.在RtΔFAE与RtΔBAE中,因为AE=AE,AF=AB,所以RtΔFAE≌RtΔBAE,∠FAE=∠BAE.因为∠B=∠C=90°,所以∠B+∠C=180°,所以AB//DC.所以∠CDF+∠BAF=180°,∠EDF+∠EAF=90°.所以∠AED=90°,即AE⊥DE.
图17
图18
生17:(证法2)如图17,延长DE交AB的延长线于点F.因为∠B=∠C=90°,所以DC//BF.因为DE平分∠ADC,所以∠CDE=∠EDA=∠F,所以AD=AF,所以ΔADF是等腰三角形.因为AD=AB+CD,AF=AB+BF,所以DC=BF.
在ΔEDC与ΔEBF中,∠C=∠EBF,CD=BF,∠CDE=∠F,所以ΔEDC≌ΔEBF,ED=EF.所以AE是底边DF的中线.因为AE⊥DF,所以AE⊥DE.
师:很好!下面探求BM+MN的最小值.
生18:(解法1)如图18,连接FB,作FN⊥AB,垂足为N,交AE于M,过D作DK⊥AB于K.由RtΔFAE≌RtΔBAE,得EF=EB,因为AF=AB,所以AE垂直平分BF,点B关于直线AE的对称点是F,因为∠B=∠C=90°,所以四边形BCDK是矩形.所以BK=CD=2.因为AB=4,所以AK=2.因为AF=AB=4,AD=AB+CD=6,所以
在RtΔADK中,sin ∠DAK=在RtΔAFK中,sin ∠FAN=所以FN=因为BM+MN=FM+MN≥FN,所以BM+MN的最小值为线段FN.所以BM+MN的最小值是
生19:(解法2)如图19,过点B作BG//DF,交AD于点G,过点G作GN⊥AB于点N,交AE于点M.因为BG//DF,所以ΔABG∽ΔAFD.所以因为DC//BF,AE垂直平分DF,AD=AF=AB+CD,所以AE垂直平分GB.因为CD=2,AB=4,所以AF=6,AG=4.所以
教学环节4:回顾反思.
师:本节课复习了何种问题?解决这种问题涉及哪些知识与方法?
生20:复习了几何综合性问题.
生21:几何综合性问题涉及基本作图、角平分线的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆的有关性质等基础知识.
生22:求解几何综合性问题要灵活运用转化思想、方程思想和数形结合思想,要根据已知条件与解题目标,添加辅助线构造基本图形,寻找解决问题的方法.
图19
图20
教学环节5:变式演练.
临近下课,教师让学生课后演练2017年广州市初中毕业生学业考试第25 题:
如图20,AB是⊙O的直径,=,AB=2,连接AC.
(1)求证:∠CAB=45°;
(2)若直线l为⊙O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E,连接AD.
①试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论;
数学专题复习要注重目标定位.从上述教学实录来看,以“几何综合性问题”为载体,运用三角形和圆的核心知识解决问题.教师注重目标定位,教学效果优良;学生明确复习目标,目标达成良好,积累了处理“几何综合性问题”的解题经验.
数学专题复习要突出主体地位.从上述教学实录来看,教师引导学生数学思考,学生主动参与数学活动.以互动交流方式,形成了“几何综合性问题”的认知结构和解题模式,较好地体现了学生的主动地位.
数学专题复习要注重提升学生的数学核心素养.从上述教学实录来看,教师要注重方法变式和问题变式.通过方法变式引导学生数学思考,提升学生的推理、运算等数学核心素养;通过问题变式认识问题结构特征,经历综合运用知识解决问题的过程.