数学建模融入高中数学教学的案例

广东省珠海市第一中学(519000) 赖嘉辉

1 引言

2 数学游戏中融入数学建模思想

案例1形如an+1=Aan+B(A≠1)的通项公式

问题引入汉诺塔的最短步数

问题提出介绍汉诺塔游戏规则,并演示两个圆盘和三个圆盘的过程.先将班级学生分成若干组,让他们尝试三个圆盘和四个圆盘(有能力的小组可以完成五个圆盘),试求不同圆盘个数的最短步数,并发现他们的规律?如果要计算n+1 个圆盘的最短步数,它和n个圆盘的最短步数之间存在着什么规律?

问题分析通过实际的操作,首先让学生了解到汉诺塔游戏的规则;其次学生在确定最短步数的过程中,能让他们发现相邻圆盘数的最短步数的关系;最后求出通项公式.

建立模型设n个圆盘的最短步数为an,学生通过实际操作,可得出a3=7,a4=15.教师在教学过程中,通过演示4 个圆盘过程,可得出要完成4 个圆盘的汉诺塔,必须要先完成1 次3 个圆盘,再把最大的圆盘放在目标的柱子上,再完成1 次3 个圆盘.所以可以得出a4=2a3+1.通过归纳推理,我们可以得到an+1=2an+1(n ∈N*),其中a1=1.

模型求解已知a1=1,an+1=2an+1(n ∈N*),如何求{an}的通项公式呢?将递推公式变成可得an+1+1=2(an+1),则数列{an+1}是以2 为首项,公比为2 的等比数列,则an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1(n ∈N*).

建立模型通过类似推理,我们可把问题条件改写成形如an+1=Aan+B(A≠1)的地推公式,试求数列{an}的通项公式.

由图3计算可得卫星相对于地面站的运动速度均值为9.5 cm/s，将计算得到的多普勒系数k代入式（8）中就可以计算得到卫星本振频率值。图5为测量的通信卫星本振频率变化曲线，图6为卫星本振频率相对于标称值的偏差。

模型求解通过前一模型的求解过程,我们可知道形如上述形式的递推公式,可以通过构成一个新的等比数列去求解.因此,我们可以用待定系数法把an+1=Aan+B写成an+1+α=A(an+α),可求得α=因此,数列{an+} 是以a1+为首项,公比为A的等比数列.则an+=(a1+)·An-1,即an=(a1+)·An-1-

3 实际问题上融入数学建模思想

案例2购房中的数学[1]

问题引入贷款中的选取问题

问题提出某家庭需要购置一套新房,由于资金不够,现需要向银行申请贷款60 万,贷30年,基准利率五年以上年利率为4.9%.请根据银行的不同的还款方式,试求该家庭每月的贷款金额?

问题分析还款问题都是归结到数列问题.

建立模型

等额本金的计算公式:

本金部分=贷款本金÷贷款期月数

利息部分=(贷款本金-已归还贷款本金累计额)×月利率

等额本息的计算公式:

模型求解设{an}为等额本金的第n年的还款金额,x为等额本息的还款金额.

有上述公式可得an=本金部分+利息部分,则

根据数列{an}通项公式的特点,我们可以得知{an}是以4116.66 为首项,公差约为-6.81 的等差数列.根据等额本息的公式可得:

即

模型结论选择等额本金的还款方式前期还款压力会比较大,后期压力小.而等额本息的还款方式则没有固定.所以应根据该家庭的月收入情况去选择哪种还款方式.

问题再引入某人需要贷款18 万去购置一辆汽车.某银行推出信用卡贷款,贷款5年,每年利率2.8%,每月固定金额还款.现知道银行5年定期利率为3.25%,试问该银行是否亏本?

问题分析该银行贷款利率为2.8%,则每期需还=3420.某人不管还了多少期本金,都是用18 万作为贷款本金算利率,中间肯定存在猫腻.

模型建立设x为等额本息中的年利率,则x应满足下列等式:

模型求解由于上述求解比较复杂,我们可采用二分法的思想,当x=5.2%时,等式左边等于3413.34;当x=5.3%时,等式右边等于3421.62.

模型结论由上述求解过程x ∈(5.2%,5.3%),远远的超过了5年的利率3.25%.因此,各位同学要慎重的选择各种网络信用贷款.

4 结束语

为了更好地提高学生的学习兴趣,甚至是更好地提高学生的数学核心素养,我们应在教学的过程中,以具体问题作为教学内容,通过具体问题的引入,建立模型,求解模型的过程,介绍数学建模的思想方法.

总之,只要我们在教学中,把数学教学与数学建模有机地结合起来,在教学的环节上适时适当地渗透数学建模的思想,可以提高学生的学习兴趣,有利于让学生适应新课改下的考试题目,有助于他们提高核心素养.