Heisenberg群上内插的L∞范数估计

陈 平

(江苏第二师范学院数学与信息技术学院,江苏 南京 210013)

1 预备知识

设(X,d)为完备的可分的度量空间.μ,ν为X上的概率测度,记为μ,ν∈P(X).X上的最优运输问题是指以下变分问题:

(1)

式中,c(x,y):X×X→(0,+∞]称为费用函数,μ,ν称为第一和第二边际测度,集合π(μ,ν)中的元素γ称为运输计划,其定义为π(μ,ν)={γ∈P(X×X):(π1)#γ=μ,(π2)#γ=ν},这里π1(x,y)=x,π2(x,y)=y分别为对第一和第二变量的典范投影. 称问题(1)的解为最优计划,而(1)的值被称为最优费用.

定义1[4-5]对于给定的映射T:X→X以及μ∈P(X),T#μ给出了X上的一个概率测度,其定义如下(T#μ)(A)=μ(T-1(A)),其中A⊂X为任意Borel集合.

引理1[4-5]如果费用函数c(x,y)是下半连续的,且最优费用(1)是有限的,则γ是最优运输问题(1)的解当且仅当γ集中在c-循环单调集合Γ上,即γ(XΓ)=0.

定义3[7]设μ,ν∈P(X),如果对任意集合A⊂X,由ν(A)=0可得μ(A)=0,则称测度μ关于测度ν绝对连续,并记为μ≪ν. 特别的,当测度μ关于n维(n≥1为整数)Lebesgue测度Ln绝对连续时,可以定义测度μ的密度f:X→[0,+∞),即μ=f·Ln,如果||f||Lp存在,则称||f||Lp为测度μ的Lp范数,记为||μ||Lp,这里p∈[1,+∞).

2 Heisenberg群上的内插

Heisenberg群(Hn,d,L2n+1)是具有分层Lie代数单连通的Lie群,是次黎曼流形的一种,这里d指测地距离.本文主要考虑Heisenberg群上的如下最优运输问题:

(2)

这里φ:[0,+∞)→R为下半连续的、具有严格凸性的函数;第一边际测度μ关于Lebesgue测度L2n+1绝对连续,即μ≪L2n+1;第二边际测度ν为有限原子,即ν的支撑集合sptν为有限个点组成的集合. 由最优运输理论[4,5]可知,由于费用函数φ(d(x,y))是下半连续的,因此问题(2)存在解. 这里我们主要关心与变分问题(2)涉及到的内插μt的范数估计. 内插μt的本质是Hn上的概率测度. 首先,我们给出有关定义.

定义5[4-5,7]对于上述最优运输问题(2),设γ是该问题的解,则对任意t∈[0,1],Heisenberg群上内插是指如下测度:μt=(et∘S)#γ.

引理2[7-8]Heisenberg群(Hn,d,L2n+1)具有测度收缩性质,即对任意一点y∈Hn和任意子集A⊂Hn以及任意t∈[0,1],有下式成立L2n+1(A)≤(1-t)-2n-3L2n+1((et∘S)(A,y)).

定理1设γ是最优运输问题(2)的解,则对于任意t∈[0,1),内插μt具有绝对连续性质和如下L∞范数估计:

(1)μt≪L2n+1,

(2)||μt||L∞(Hn)≤(1-t)-2n-3||μ||L∞(Hn).

(3)

注意到利用反证法可以证明Ωi(t)∩Ωj(t)=∅,∀i≠j.事实上,假设该结论不成立,即存在x∈Ωi(t)∩Ωj(t),由φ的严格凸性可得:

φ(d(xi,yj))+φ(d(xj,yi))=φ(d(xi,x)+d(x,yj))+φ(d(xj,x)+d(x,yi))=φ(td(xi,yi)+

(1-t)d(xj,yj))+φ(td(xj,yj)+(1-t)d(xi,yi))

tφ(d(xj,yj))+(1-t)φ(d(xi,yi))=φ(d(xi,yi))+φ(d(xj,yj)).

该式与φ(d(x,y))-循环单调性(见定义2)矛盾,从而结论得证.

其次我们进行范数估计. 因为μ≪L2n+1,记f为μ的密度,由定义3可知μ=f·Ln+1,此外对任意Borel集合A⊂Hn,有

μ(A)≤||f||L∞(Hn)L2n+1(A).

(4)

再由定义1可得

式中,ϖi=π1((et∘S)-1(A)∩Ωi×yi).由(3)式和(4)式可得

进一步的,由引理2可得

又因为对任意i≠j,有Ωi(t)∩Ωj(t)=∅,所以

作为该定理的一个重要推论,我们可以考虑Hn上的如下变分逼近问题

min{Cε(γ,ν);γ∈Π}.

(5)

解γε的内插(et∘S)#γε的正则性估计结论. 以下对式(5)中的符号做出说明:ε>0为任意常数,μ,ν∈P(Hn),Π:={γ∈P(Hn×Hn):(π1)#γ=μ,spt((π2)#γ)⊂K},其中K⊂Hn为紧集,且满足spt(μ)∪spt(ν)⊂K. 此外

ε3n+2Card(spt((π2)#γ)),

式中,W1(μ,ν)是测度μ,ν的1-Wasserstein距离,即

(6)

该定义可见[5],φ:[0,+∞)→R是任意严格凸函数,Card(A)表示集合A的基数.此外,1-Wasserstein距离即为问题(1)中X取为Hn,c(x,y)取为测地距离d(x,y)时的特殊情形.

式(5)称为变分逼近问题的原因在于,对任意ε>0,由变分法的直接方法可得(5)存在解,记为γε,文献[7]证明了当φ(d(x,y))=d2(x,y)时,γε的弱收敛极限即为问题(6)的解.

证明设νε,B:=(π2)#(γε|B).因为γε是问题(5)的解,因此γε也是如下变分问题的解:

更进一步的,γε|B是如下问题的解:

令φ*(x)=x+εφ(x):[0,+∞)→R,因为φ是严格凸函数,所以φ*也是严格凸函数. 更进一步,γε|B是最优运输问题(2)的解,其中μ取为με,B≪L2n+1,ν取为νε,B,而费用函数为严格凸函数φ*,因此由定理1可知结论成立.