求解BBM方程的一个两层线性化差分格式

苏明芳， 何 丽， 胡劲松

(西华大学理学院， 成都 610039)

1 引 言

为研究非线性波在传播中的耗散，人们提出了Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程[1]

ut-uxxt+ux-uxx+uux=0，

(x,t)∈(xL,xR)×(0,T]

(1)

文献[2-3]研究了其解的衰减性.文献[4-6]研究了其解的存在唯一性及收敛性.另一方面，其数值解也引起了众多学者的关注[7-13].

本文考虑BBM方程(1)在如下初边值条件

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(3)

下的数值解，其中u0(x)是已知光滑的函数.问题(1)～(3)具有如下守恒量[14]：

(4)

其中Q(0)为仅与初始条件有关的常数.

文献[14]对问题(1)～(3)提出了在空间层具有四阶理论精度的两层非线性差分格式，但数值求解时需要非线性迭代.文献[15]又对问题(1)～(3)提出了在空间层具有四阶理论精度的三层线性差分格式，但三层格式一般都不是自启动的，且在数值求解时需要储存前两层的数据.本文对方程(1)中的非线性项进行线性化离散处理，构造了一个具有二阶理论精度的两层线性化差分格式，合理地模拟了守恒量(4).在不能得到差分解的最大模估计的情况下，本文综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法[16]证明了该格式的收敛性和稳定性，并给出数值算例.

2 差分格式及其守恒律

对问题(1)～(3)考虑如下有限差分格式：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(5)

(6)

(7)

定理2.1差分格式(5)～(7)关于以下离散能量是守恒的：

(8)

其中n=1,2,…,N.

证明 将(5)式两端乘以h后对j从1到J-1求和，由边界条件(7)式和分部求和公式[16]有

(9)

又

(10)

由Qn的定义，将(10)式代入(9)式后两端乘以τ，再对n递推可得(8)式.证毕.

3 差分格式的可解性

定理3.2若时间步长τ充分小，则差分格式(5)～ (7)是唯一可解的.

证明 数学归纳法.显然U0是由初值条件(6)式唯一确定的.假设Un(n≤N-1)是唯一可解的，可设

(11)

考虑方程(5)中的Un+1，有

(12)

将(12)式与Un+1作内积,由边界条件(7)式和分部求和公式[16]有

(13)

由(11)式以及引理3.1有

(14)

又由

(15)

将(14)、(15)式代入(13)式整理得

4 差分格式的收敛性与稳定性

差分格式(5)～(7)的截断误差定义如下：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(16)

(17)

(18)

由Taylor展开可知，当h,τ→0时,

(19)

P1+P2

(20)

(21)

(22)

其中

由引理4.1以及(19)式知，存在与τ和h无关的常数Cu和Cr,使得

Cr(τ2+h2),n=1,2,…,N-1

(23)

再由初始条件(6)以及(21)式可得以下估计式：

(24)

现假设

l=1,2,…,n，n≤N-1

(25)

其中Cl为与τ和h无关的常数.则由离散Sobolev不等式[16]和Cauchy-Schwarz不等式有

(26)

(27)

(28)

由(23)式及微分中值定理有

(29)

于是由(27)和(29)式以及引理3.1有

(30)

(31)

(32)

将(32)式从1到n递推求和，整理得

(33)

又

T(Cr)2(τ2+h2)2

(34)

将(25)式代入(33)式，由离散的Gronwall不等式[16]，取时间步长τ充分小以满足τ<1/12(Cu+1)

就有

(Cn+1)2(τ2+h2)2,n=1,2,…,N-1，

n=1,2,…,N.

最后，由离散的Sobolev不等式[16]有

定理4.3设u0∈H2.若时间步长τ和空间步长h充分小，则差分格式(5)～(7)的解满足：

证明 对于充分小的τ和h，由定理4.2有

5 数值实验

表1 格式在几个不同时刻的误差

表2 格式对守恒量(4)的数值模拟

表3 对格式的理论精度O(τ2+h2)的数值模拟

从数值算例可以看出,本文对初边值问题(1)～(3)提出的差分格式(5)～(7)是有效的.