迁移算理 建构算法 完善知识体系

钟蕾

[摘要]“分数与整数相乘”的教学设计着重沟通整数、小数、分数分别与整数相乘之间的联系，以及分数与整数相乘所表示的两种意义之间的联系，让学生自主地进行知识建构，了解分数与整数相乘的意义，进而迁移算理，掌握算法，完善知识体系。

[关键词]分数;整数;相乘;算理;算法;知识建构

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A [文章编号] 1007-9068（ 2020）20-0057-02

[教学内容]苏教版教材六年级上册P28-29例1及相关练习。

[教学目标]

1.理解分数与整数相乘的意义及算理，掌握分数与整数相乘的算法，能正确地进行计算。

2.在数学建模的过程中，发展分析、比较、归纳、概括等数学思维能力，感悟数形结合、转化等数学思想，发展迁移、探究能力。

[教学重难点]理解分数与整数相乘的意义及算理，掌握分数与整数相乘的算法，能正确地进行计算;实现对整数乘整数、小数乘整数等学习经验的正迁移，沟通“几个几分之几是多少”和“一个数的几分之几是多少”之间的联系，自主建构数学知识网络。

[教学过程]

一、激活经验，迁移引入

师（出示（ ））：每个正方形后面都藏着同样的物体。

师（隐去正方形，呈现正方形背后的“（

）”）：你能用算式表示它们的关系吗？（学生列算式7x3）

师：这个算式表示什么意思？

（让学生明确求几个相同加数的和用乘法比较简便）

师：7表示7个什么？

（让学生明确7乘3表示7个一乘3，得到21个一。）

师：这个算式实际上要算一共有几个什么？

（让学生明确“几个一”）

出示图形：

（学生能够分别列出70x3、0.7x3和0.07x3，并能说出相关算法。）

出示例题及相关条件：

师：你会列式吗？所列算式表示什么意思？

师：分数乘整数和之前学过的整数乘整数、小数乘整数一样，都表示求几个相同的加数的和。

师（揭示课题）：今天我们就来研究分数与整数相乘。

【设计说明：激活学生已有的经验，为学生进行知识迁移、学会分数乘整数计算方法做好准备。】

二、自主建构，明晰理法

师：第（1）题算式列好了，该怎么算呢？

学生算法：（1）画图;（2）将分数化为小数;（3）先进行单位换算，再将分数乘法转变为整数乘法;（4）

（

）

师：为什么分数和整数相乘时，分子要相乘，而分母不要相乘呢？

师：（4）（5）两种方法有相同的地方吗？

师：同分母分数相加，分母不变，分子相加;分数与整数相乘，分母不变，分子相乘。

学生根据教师出示的逐步抽象的算式，说出算法及结果。如：

①3/10×c（3個1/10乘c就是3c个1/10）。

②b/10×c（b个1/10乘c就是bc个1/10）。

③b/a×c（b个1/a乘。就是bc个1/a）。

说明：这里a作为分母，应该规定a≠0。

师：你们清楚怎么计算分数乘整数了吗？请总结方法。

生：分母不变，分子和整数相乘。

师：刚学完新知识，我们有必要回顾一下。整数乘整数，是分别在算一共有几个一和几个十，也就是在算一共有几个整数单位;小数乘整数，是分别算一共有几个0.1和几个0.01，也就是在算一共有几个小数单位;分数乘整数，则是在算一共有几个1/10、几个1/a，也就是在算一共有几个分数单位。不管是整数、小数还是分数与整数相乘，都是在算一共有几个计数单位，它们计算的道理是相同的。

师：掌握了方法，第（2）题有信心自己解决吗？

生：3/10×5=3×5/ 15=15/10=3/2（米）。

师：这位同学非常细心，他知道将结果化成最简分数。大多数同学也都采用一样的方法，先乘后约。

师（出示算式：12/19×38）：如果是这道算式呢？有别的算法吗？从哪里看出来是可以先约分的？

师：比较一下，你觉得“先乘后约”好还是“先约后乘”好，好在哪儿？

（完善方法：分母不变，分子和整数相乘;能约分的要先约分。）

师：做题得养成习惯，先观察能不能约分，再计算。

【设计说明：本环节是新授部分，由于引入部分的铺垫，例题的出示能够处理得更顺畅，且有了整数和小数与整数相乘的方法回顾，笔者大胆在例题部分完全放手让学生自己探索算法，相信学生完全有能力进行方法上的迁移。接下来的一系列算式是带领学生经历逐步抽象，对方法进行符号化表征的过程。学生在这一过程中能够对算理进行进一步的加工明确，也能更熟练算法，这时让他们用语言描述算法，水到渠成。在学生经历了数学知识的发生与发展过程后，还要提高学生原有认知结构的可利用性、稳定性与清晰性，为新知识融人已有的认知结构创造条件，对此，笔者安排了及时的“回头看”，让学生勾连新旧知识之间的联系，自主建构知识体系。最后利用好教材上和精心选择的素材进行方法优化，让学生真切感受到“先约后乘”的优越性，自觉养成约分的习惯。】

三、练习应用，丰富模型

1.小试牛刀

出示：2/7×3;4×5/6;7/10×5;15×5/12。

（让学生先快速观察出题目能否先约分，再动手计算。）

师：判断是否需要约分要先看整数和分母有没有公因数。

2.火眼金睛

师（出示“（ ）”）：请指出问题，并从中获取经验。

师：注意方法，先约再乘，约对部分。

3.左思右想

（1）6×4可用来解决下面哪些数学问题？

①每人吃了6/7个饼，4人一共吃了多少个饼？

②有4个饼，吃了6/7个，还剩多少个？

③吃了4个饼的6/7，吃了多少个？

课件展示：

师：仔细看，老师要来变魔术了！

课件展示：

师：你有什么发现？

师：4的6/7和4个6/7都可以用6/7×4来解决。

（2）课件出示信封图案。

师：老师的信封里还有个长方形，也可以用6/7×4来表示。你觉得它是个怎样的图形？

生：①4个阴影部分是号的图形;②长为4，宽为号的长方形的面积。

师：边长为6/7的正方形的周长。

【设计说明：练习部分的设计既注意了习题形式的变化，又涉及了层次架构。“小试牛刀”和“火眼金睛”第一层次的基础练习帮助学生巩固分数与整数相乘的计算方法。“左思右想”为第二层次的拓展提升，通过两个小题充分挖掘了“6/7×4”的价值，让学生初步感知分数与整数相乘既能表示“几个几分之几是多少”，又能表示“一个数的几分之几是多少”，从而沟通两种意义之间的联系。】

四、回顾总结，梳理反思

师：今天学了什么？你们有哪些收获？

【设计说明：学生完整经历了知识建构的过程后，用自己的语言表达、梳理，也给其他同学反思、强化的机会，有利于学生相互学习，将数学思考引向深入。】

（责编黄春香）