浅谈逻辑推理及证明方法

杜先云 任秋道

(1.四川省成都信息工程学院数学学院 610225; 2.四川省绵阳师范学院数学与物理学院 621000)

一、引入

无论在自然学科还是社会学科中，以及社会生活中我们经常遇到推理，推理的结论是否正确？推理需要遵守一定的逻辑规则.目前，数学教师都没有系统学习过数理逻辑知识，而在中学数学中，我们又要用到很多逻辑知识.比如：间接法与反证法的定义、区别与联系；矛盾是与一个已知真命题不一致的判断，矛盾律和排中律是矛盾的对立统一的表现.为此本文利用《数理逻辑》的知识来阐述中学数学的证明方法.

二、命题逻辑及推理规律

首先我们来回顾《数理逻辑》的基本知识.命题是判断是真或假并且结果唯一的陈述句.简单陈述句表示简单命题，简单命题通过逻辑联结词的联结而成为复合命题.一般情况下用四种联结词：非(¬)、且(∧)、或(∨)及蕴含(→).用符号表示的简单命题或复杂命题称为命题公式，通常用大写字母A,B,C等表示.命题公式A中所有简单命题无论是真还是假，通过逻辑演算结果A都是真，称命题公式A为重言式或永真式.

推理是由一个或几个已知的判断(前提)，推导出另一个新的判断(结论)的思维过程.有正确和错误两种推理.从条件A1,A2,…,An推出结论B的形式结构一般记为：(A1∧A2∧…∧An)→B.

若该式为重言式，称该推理是正确的或有效的.正确的推理记为：(A1∧A2∧…∧An)⟹B.

按照推理过程的思维方向划分，可分为归纳推理、演绎推理和类比推理.归纳推理又可分为：完全归纳推理、不完全推理、简单枚举法等.演绎推理分为：三段论、假言推理、选言推理等.我们在推理中得出的结论是否正确？在数学上对于一个正确推理可以给出严密的证明，要用到几条常见的推理定律：

假言推理：(A→B)∧A⟹B.若条件A成立，则结论B成立.现在条件A成立，则结论B一定成立.这是我们用得最多的推理定律.

假言三段论：(A→B)∧(B→C)⟹A→C.若条件A成立，则结论B成立；把已证明的结论B作为后继证明的条件，又能得到新的结论C；因此条件A能推出结论C.该定律说明了假言推理的传递性，也是我们用得较多的推理定律.

假言易位等值式：A→B的充要条件¬B→¬A.这就是我们通常所说的原命题与逆否题等价.

正确推理的证明是指一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个命题公式是已知的条件，或者是由某些条件应用推理规则得到的结论(中间结论或推理的结论).

三、证明的方法

一般地，真命题都可以看作由条件A与结论B构成，其推理形式为：若条件A为真，证明A→B为真.

1.直接证法

从条件A为真出发，以及一些定义、公理、定理或已经证明过的真命题等，一步一步推导出结论B.当已知条件A(或部分已知条件)与某一个定理或公理的条件相同，根据假言推理论或三段论，可推出该定理或公理的结论成立；我们再把该定理或公理的结论作为前提，又利用假言推理与其它的定理或公理推出新的结论，依次推下去，直到得出结论B.我们称这样的证明为直接证明.它利用发散思维，从条件这点发散出去，不断寻找与结论相关的数学对象.由“已知”得到“推知”，再由“推知”一步步得到“结论B”.条件A分为二种情况：A=A1∧A2∧…∧An和A=A1∨A2∨…∨Ak.前一种情况由n个条件A1,A2,…,An同时成立构成已知，利用这n个条件共同逐步推出结论B.后一种情况的k个条件A1,A2,…,Ak在不同的情况下只有单独一个条件Ai(i=1,2,…,k)成立，而其余条件均不成立，分成k种情形进行讨论，将每一种情形分别证明结论B，直到所有的k种情形均证明了结论B，这个方法叫穷举法或分类讨论法.一个复杂的问题往往要分成多种情形，分别将每一种情形进行讨论.

对于直接证明法，根据证明过程的表述不同又分为两种方法：综合法和分析法.

2.构造法

有些问题分析时常常使用分析法，求解时用综合法.这就是另一种证明方法—构造性证明法.它是指要证明的结论B具有某些性质的特殊数学对象，利用已知条件和结论构造一个中间结论B′，通过B′来说明B为真，从而说明该命题为真.利用转换型逆向思维法：转换思考角度观察分析问题，从新的角度，用新的观点观察、分析及解释对象，抓住它们的内在联系；再通过联想和创新性思维，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象B′中清楚地表现出来.它的本质是转化条件或结论的证明方法.它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性作为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决方法.在几何中，经常要添加辅助线，借助辅助图形得到结论.

3.间接证法

有些命题的条件少或者较难从条件入手，直接证明比较困难.我们就利用反转型逆向思维从结论的相反方向进行思考，否定结论B会对已知条件产生什么影响，采用简接的方法证明.它要用到两个重要的逻辑规律“矛盾律”和“排中律”： 矛盾律用公式A∧¬A为假来表示，即命题A和它的否定命题¬A不能同时成立，二者至少一个为假.排中律用公式A∨¬A为真来表示，即命题A或它的否定命题¬A为真,二者至少一个为真.矛盾律和排中律说明了在同一思维过程中，命题及其否定命题这对矛盾必有一个是真的，另一个就是假的.当直接证明某一判断的正确性有困难时，只要证明这一判断的否定判断为假就可以了.

根据假言易位等值式：A→B的充要条件¬B→¬A.若证明了逆否命题¬B→¬A为真，也即证明了原命题A→B为真.我们称由¬B→¬A为真来证明A→B为真的方法为间接法.对于没有明显前提的特殊命题，要求直接证明某命题B为真.由它的反面¬B出发，利用假言推理和假言三段论等推理定律推出矛盾，则得到B为真，我们称这种方法为归谬法或反证法.由此可得：从命题角度来看，使用反证法的命题是一类没有前件的特殊命题，反证法是一种间接证明法.而在间接法证明过程中，我们得到¬B→¬A，而¬A∧A就是一个特殊的矛盾.因此，从证明的过程来看，间接法又是一种反证法.反证法的步骤：反设：分清楚要证命题的条件与结论，假设命题的结论不成立.归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得到矛盾的结果.存真：由矛盾的结果得到反设不真，从而肯定原命题成立.

现在反证法已经是常用的一种证明方法.数学中，一些起始性命题、否定性命题、唯一性命题、必然性命题、无限性命题和结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题等用反证法来证明可收到比较好的效果.

求证a1,a2,…,an中至少有一个数小于1.

因此，n=1+(b1+b2+…+bn)+…+b1b2…bn>1+(n-1)=n.

这是一个矛盾.故假设不成立，即a1,a2,…,an中至少有一个数小于1.

4.数学归纳法

对于某些与自然数n有关的命题常常采用数学归纳法来证明它的正确性，用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.数学归纳法有多种形式：第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒退归纳法(反向归纳法)、递降归纳法和螺旋式归纳法等.