例谈不等式内容在小学数学中的渗透

湖北省武汉市光谷第六小学 何 静湖北大学数学与统计学学院 严 卿

近年来，随着建构主义、人本主义等理论的逐渐根植，数学教学中的重点逐渐转移到对学生的关注。具体来说，关注的内容包括：学生在进入课堂前已经具备了哪些知识？学生是如何理解、掌握新的知识的？……对这些问题的回答构成了教师开展教学的基础。对于前一个问题，又可以细分为两个层面：一是应然层面，即学生理应具备了哪些知识；二是实然层面，即学生实际上具备了哪些知识。对同一个问题，还可以从另一个维度进行二分：一是学生在此前的数学学习中已具备了哪些知识；二是学生在日常生活中获得了哪些知识。由此，构成了一个分析学生课前“学情”的2×2 框架，这一框架本身也反映出了解学生殊为不易。

本研究聚焦于对学生应具备的数学知识的分析，并以“不等式”内容为例。“不等式”内容贯穿了初中、高中、大学的数学学习，在各阶段又渗透于不同章节中，足见其重要性。实际上，“不等式”的一些性质、思想在小学阶段就已经有所涉及，换句话说，其作为一种潜在的知识而存在。显然，对这些潜在的内容进行挖掘，既能够帮助小学数学教师在课堂中有意识地渗透不等式的相关知识，又能够帮助中学教师明确学生学习的起点，这是本研究的价值。

一、小学数学中的不等式

在研究方法上，本研究对2013 版人教版义务教育小学数学教科书展开分析，挖掘其中涉及不等式的部分。经过归纳，小学阶段的不等式内容主要体现在如下三个方面：

1.不等式的传递性在比较大小中的渗透（不等式的传递性：a＞b，b＞c，则a＞c）

这一渗透主要体现于单位换算中。例如，在三年级上学期《时、分、秒》这一章存在这样一类问题——比较具有不同时间单位的数的大小，见例1。

例1：请你比较“4 时”和“240 秒”的大小。

通常，会选取一个中间量作为桥梁来进行比较。例如，可以把“4时”换算成“240 分”，容易判断，“240 分”肯定大于“240 秒”，由此得出“4 时”＞“240 秒”。这里体现了不等式的传递性。类似情况在涉及不同单位量的比较时均有所体现。

2.不等式的可加性在估算中的渗透（不等式的可加性：a＞b，c＞d，则a+c＞b+d）

估算能力在人们解决实际问题的过程中发挥着重要作用，借助估算，不但可以减少计算步骤，提高问题解决的效率，还可以探索问题解决策略，具有实用性和广泛性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，在知识技能方面也要求学生“在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算”。而在估算时，对于目标数量不再追求精准的计算，而是通过“大于”或“小于”来确定一个范围，因此，必然涉及不等式的有关思想。例如，在三年级上册《万以内的加法和减法（一）》一章中有这样一道题：

例2：一到三年级来了223 人，四到六年级来了234 人，巨幕影院有441 个座位，六个年级的学生同时看巨幕电影，坐得下吗？

教科书在“分析与解答”环节给出了估算的具体方法，将223估小成220，234 估小成230，由于220 ＋230=450，因此一定是坐不下的。实际上，这一比较过程利用的就是不等式的可加性：令a=223，c=234，b=200，d=230，当a＞b，c＞d时，有a+c＞b+d，即223+234＞200+230。此外，该例中亦渗透了不等式的传递性。

最值问题是不等式的一个主要运用，也是中学数学中的一个难点。实际上，在小学三年级上册《长方形和正方形》一章中，已经开始渗透这类问题，虽然在形式上并未直接给出不等式，见例3。

例3：用16 张边长为1 分米的正方形纸拼长方形和正方形，怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？

该例是一道探究型问题，通过学生动手操作、尝试、观察，主动发现“在小正方形个数一定的情况下，图形的长和宽越接近，长方形的周长就最短”。实际上，这一结果正是基本不等式的运用。原题可以转换为如下表述：已知长方形（正方形）的面积是16，长为a，宽为b，求周长2（a+b）的最小值。根据基本不等式，当a=b=4 时，a+b取得最小值，即当拼成长和宽都是4 的正方形时，周长最短。因此，虽然解答题目的过程并未直接使用基本不等式，但实际上已经蕴含了基本不等式的特征。

二、思考与启示

1.提升重视，让隐性知识外显化

虽然小学数学中并未将不等式知识单列，但正如上文所分析，该内容在不同章节中都有所涉及。一方面，这表明了不等式内容的基础性与应用的广泛性，与其他知识很难完全割裂开来；另一方面，也体现了教材编写者的这样一种考量，即为中学阶段的学习打下基础。这就要求小学教师对涉及的不等式内容予以一定的重视，不能因为其在小学阶段并非重点内容就有所忽视。对于体现不等式传递性、可加性的过程，应予以完整呈现，而非省略；对于体现基本不等式的探索性问题，宜留给学生足够的探索、思考时间；对于小学生在不等式上存在的困难、问题，应及时发现，予以澄清。另一方面，此时显然也不宜过于追求对抽象规则的记忆，关键在于通过具体例子体会与理解，做到淡化形式，注重实质。

2.强调联系，贯彻核心素养培养目标

小学阶段不等式知识的涉及，从另一个角度看，也体现了数学知识的普遍联系。归根结底，数学知识在不同学段与年级、不同章节中的设置，都是依据知识本身的逻辑、学生的接受能力、教学的科学性安排的结果，在肯定其合理性的同时，也需看到其对系统知识的割裂。这就要求教师在教学中尽可能将“割裂”的知识重新联系在一起，融会贯通。这不仅仅针对不等式内容而言，推而广之，教师应关注数学中各领域知识的脉络，主动挖掘其中的联系。实际上，这也正体现了当前核心素养培养目标的要求。核心素养是能力、品格与价值观的凝练，这一目标超越了单纯的知识理解，升华为知识迁移，并最终指向知识的创新。因此，教师不应仅仅停留于对当下章节、学段重难点知识的把握，而需有总领全局的意识，在更高的水平上理解、领会教学内容。