巧用展开图 提高想象力

金云松 陈庆宪

【摘   要】已知长方体的长、宽、高，学生会运用公式计算它的表面积和体积，而要从长方体的展开图中获取信息，重新想象长方体的形状并计算，学生往往有一定的难度。在长方体表面积、体积计算的综合练习课中，教师可从“根据长方体的特征分析展开图;根据两个面的特点想象长方体;根据多个面的关系组合展开图”这样三个层次进行训练，以加深学生对长方体展开图的认识，进一步提高学生的空间想象能力。

【关键词】长方体表面积和体积;长方体展开图;空间想象能力

在图形的计算教学中，当学生熟练掌握了图形的计算方法后，在具体计算时往往又会脱离想象空间。比如学生掌握了长方体的表面积和体积的计算方法后，当已知长、宽、高，学生在头脑里马上会展现表面积和体积的计算公式。作为计算技能，理当扎实地掌握，但如果一直保持这样单一的训练，学生解决问题的能力尤其是空间想象能力，就得不到有效的提高。出于这样的思考，我们在长方体、正方体这一单元的最后几节练习课中，特意给学生创设了逆向的、变式的练习。以下这节课就是从研究长方体的表面展开图为切入点，通过表面展开图或长方体的几个面，让学生先想象长方体的形状和大小，再计算它的表面积和体积。教学后收到很好的效果，现把教学设计和教学过程整理如下，供大家教学时参考。

一、根据长方体的特征分析展开图

（一）观察分析长方体表面展开图的特点

教师让学生拿出练习纸，观察图1中的四个图（投影同时出示），向学生提问：请你观察这四个图，哪些图可以看成长方体的表面展开图？哪些不是长方体的表面展开图？为什么？

学生通过观察、交流，说出①号图和③号图不是长方体的表面展开图，②号图和④号图可以看成长方体的表面展开图。

师：为什么？

生：把长方体的表面展开，相对的面都不会直接连在一起的。在①号图中，相对的面直接连在一起了，所以不是长方体的表面展开图。

师：说得很好！面与面直接连在一起，应该是长方体中怎样的两个面？

生：应该是相邻的两个面。

师：那你们在①号图中把哪个面移动一下位置，使它成为一个长方体的表面展开图呢？

根据学生的回答，利用投影，在①号图中移动一个长方形的位置，使它成为长方体的表面展开图。接着又向学生提问：为什么③号图不是长方体的展开图？

生：在③号图中，相对的面大小不一样了，所以它也不是长方体的表面展开图。

教师让学生指着③号图说一说，把哪两个面看成相对的面，发现这两个相对的面的大小不一样。接着教师又指出：那怎样把③号图改一改，使它也成为一个长方体的表面展开图？

根据学生的回答，教师利用投影，在③号图中改动其中两个面的大小，使它相对面的形状、大小完全相同。

接着教师引导学生分别针对②号图和④号图，找一找想象到的长方体相对的前面和后面、左面和右面、上面和下面。

（二）针对展开图，测量并计算表面积和体积

师：请大家在②号或④号长方体的表面展开图中，选择一个展开图，先测量它的有关边的长度（在图中标上），再计算出这个长方体的表面积和体积。

学生在练习纸上测量、计算后，教师再组织集体交流。

大部分学生都直接测量出长方体的长、宽、高分别可以是4cm，2cm，1cm，计算出表面积是28cm2，体积是8cm3。（练习纸上两张展开图量得的长、宽、高都分别是4cm，2cm，1cm）

当组织以上的交流后，教师投影出示图2，向学生提问：如果在每一个图上直接测量这样的两条边的长度，你能计算出它的表面积和体积吗？

学生观察后回答：不能。

师：如果让你再测量一条边的长度，就能计算出它的表面积和体积，你想去测量哪条边的长度？

生：我想在②号图上测量长方体的长边，长边是4cm，这样通过“（10-4×2）÷2=1”就可以知道它的宽是1cm，再通过“4-1×2=2”就可以知道它的高是2cm，这样就可以计算出这个长方体的表面积和体积。

生：在②号图上还可以去测量这个长方体的高是2cm，这样就可以计算出它的长是4cm，宽是1cm，再计算它的表面积和体积。

师：是的，在②号图上只要再测量长方体的一条棱的长度，就可以计算出另外两条棱的长度，这样就可以計算它的表面积和体积了。那在④号图中已经知道了这个长方体的一条棱是4cm，为什么还不能计算这个长方体的表面积和体积呢？

生：在④号图中可以把4cm这条边看成长方体的长，但这4cm与图中的6cm没有关系，不能通过这两条线段的长度计算出长方体的宽和高。所以还需要测量出它的一条宽或高，就可以通过与已知6cm的关系，计算出它的高或宽，这样就可以计算出它的表面积和体积。

（评析：作为本单元的综合练习课，学生对于长方体的表面展开图有过多次的认识，所以我们在课始直接让学生针对四个图，辨别哪个图可以看成长方体的表面展开图。要求学生在辨别时说出，为什么其中两个图不能看成长方体的表面展开图，怎样改变这两个图，才能使它成为长方体的表面展开图。这种辨析说理的过程，实质是让学生经历了从平面图到立体图的想象转换。接着让学生测量展开图的有关边的长度来计算长方体的表面积和体积，因为教师预计学生一般会直接去测量长方体的长、宽、高，所以在学生自己测量、计算后，教师又给学生提供了没有直接测量长、宽、高的素材。通过进一步质疑交流，使学生进一步厘清长方体的长、宽、高在表面展开图中的位置关系。）

二、根据两个面的特点想象长方体

师：刚才我们分析了长方体的表面展开图以及针对展开图测量有关边的长度，计算它的表面积和体积。下面根据长方体的两个面，你还能想象出这个长方体的形态和大小吗？

教师投影出示以下题目（学生的练习纸上也有以下的题目）。

题1：从下面（如图3）的三个长方形中选择两个长方形做长方体的两个面。请你先选出这两个面，想象这个长方体的形状，并画出草图，再计算它的表面积和体积。

我选择了     面和     面，想象到的长方体形状的草图是                               。

计算它的表面积是           ，体积是           。

学生经过独立选择、画图、计算后，教师在黑板上展示了学生的两种选择和解答过程，组织集体评价。接着教师再利用投影逐步出示图4。

同时教师拿着A、B两张放大后的硬纸片，一边演示一边与学生交流。

师：选择A、B两个面，如果把A面看成长方体的前面时，那B面是这个长方体的哪个面？

生：B面应该是这个长方体的左面或者是右面。

师：如果把B面看成长方体的前面时，那A面又是这个长方体的哪个面？

生：A面应该是这个长方体的左面或右面。

师：A、B两个面有可能是长方体相对的面吗？

生：这两个面大小不同，不可能是相对的面。

师：把A、B两个面看成长方体相邻的两个面，要注意什么？

生：两条长度相等的边，一定重合在一起。

教师又拿着A、C两张放大后的硬纸片，一边演示一边与学生交流。（过程略）

师：为什么B、C两个面不能成为长方体的两个面呢？

生：因为B、C两个面找不到相等的边，所以不能成为长方体的两个面。

（评析：我们知道一个长方体的形状和大小，是从一点出发引出的三条棱，即长、宽、高的长度来决定，也就是说由从一点出发的三条棱的长度，可以想象出这个长方体的形状和大小。而在以上素材中我们让学生先从三个面中选出两个面去想象长方体，学生会正确地选择出两个面做长方体的两个面，其实际上就是选择了从一点出发的三条棱。学生在这样的选择中会进一步领悟到，只要抓住两个面有一条边相等，就可以组成相邻的两个面，再从相邻的两个面想象到这个长方体的形状和大小。在以上想象过程中教师还巧妙地借助于两张长方形的纸片，演示拼合成相邻的两个面，而且这种演示可以呈现不同方位的两个相邻的面，使学生更便捷地想象到这个长方体。）

接着教师投影出示以下题目（学生的练习纸上也有同样的题目）。

题2：下面（如图5）的两个长方形是一个长方体的两个面，你能确定这个长方体长、宽、高的长度吗？请你填一填。

我想到的长方体的长是           ，宽是           ，高是             。

我还想到了另一个长方体的长是           ，宽是            ，高是           。

要求学生进行填空，也就是通过这两个面想象到两个不同形状的长方体。学生经过独立想象、填空后，教师再组织反馈评价。

生：我想到的这个长方体的长是6cm，宽也是6cm，高是2cm。

教师给学生两张这样放大后的长方形纸片，让学生自己演示想象到的长方体。

生：我还想到另一个长方体的长是6cm，宽和高都是2cm。

教师同样让学生拿着这两张长方形纸片，演示想象到的长方体。

然后利用投影，动态展示想象到的两种长方体（如图6）。

接着向学生提问：这两个面的形状、大小完全一样，那一定是长方体相邻的两个面吗？

生：这两个面可以是长方体的一组相对的面，但如果做长方体相对的面时，这样的長方体有无数个。

师：你们听懂他说的意思吗？如果把这两个面当作长方体的相对的面，是不是长方体的形态还在变化？

学生都表示赞同，这时教师提供两张放大后的长方形纸片，让学生把想象到的情况一边演示一边表述。

生：如果把这两个面看成长方体的前、后两个面，那它的前后距离在变化。如果把这两个面看成长方体的左、右两个面，那这个长方体的长在变化。

生：我把这两个面想象成长方体上、下两个面，这个长方体的高在变化。

师：你们的想象是否与这两位同学说的一样？（学生表示赞同）

这时教师又利用投影进行动态演示（如图7），当这两个长方形作为长方体的前、后两个面时，只能确定这个长方体的长和高的长度，它的宽度在变化。）

师：把这两个长方形作为长方体的相对面，这个长方体的形态能确定吗？

生：不能确定。

（评析：在以上的训练中，虽然只给学生提供了两张长方形硬纸片，却给学生带来了丰富的想象空间。当学生想到把2cm这条边重合时，就会想象到这个长方体的长和宽都是6cm，高是2cm;当学生想到把6cm这条边重合时，就会想象到这个长方体的宽和高都是2cm，长是6cm。当学生想到把这两个长方形看成长方体的相对面时，他们想到了动态变化中的长方体。而在学生描述每一种想象时，教师又让学生借助于两张长方形硬纸片进行演示，使之更形象地验证了自己的想象。）

三、根据多个面的关系组合展开图

师：刚才大家根据两个面想象长方体，我们知道长方体有6个面，现在把长方体的6个面拆开，藏在信封里的10个面中，请你在这10个面中重新选出6个面拼摆成一个长方体的表面展开图，你会吗？（投影同时出示如图8的10个长方形）

学生经过独立思考、动手拼摆、小组交流后，教师再让学生展示出如图9的两种拼摆方法，并提问：这两种拼摆图都可以看成是一个长方体的展开图吗？

生：可以。

师：那你在拼摆展开图时是怎样想的？

生：我先找到有一条边相等的两个长方形，把它们看成长方体相邻的两个面，再找一样的面作为相对面，把相对面放在相隔一个长方形的位置。这样就可以拼摆成一个长方体的表面展开图。

生：我是先找到形态、大小一样的两个面作为长方体相对的面，再找与这两个面有边相等的面作为长方体相邻的面，然后拼成长方体的表面展开图。

师：在投影里拼摆出的两个长方体的表面展开图中，第2个展开图的长方体有什么特点？

生：这个长方体有一组相对的面是正方形，而且这个长方体是扁扁的。

师：下面请大家针对自己拼摆的展开图，测量出有关边的长度，再计算出这个长方体的表面积和体积。

学生测量、计算后，教师再组织反馈评价。（过程略）

（评析：教师对这10张长方形纸片做了精心的设计，学生从10张长方形纸片中可以选择两种方案拼摆成长方体的表面展开图。在选择与拼摆的过程中，学生需要根据长方体的特征，分析面与面、边与边之间的关系，才能成功地拼摆出长方体的表面展开图。在组织学生对拼摆的思考过程进行评价后，教师又要求学生针对自己所拼摆的展开图进行测量计算，使以上的训练素材得到充分的利用。）

四、回顾与总结

师：通过本课的训练，大家一定能更快地通过长方体的表面展开图或长方体的两个面，想象出长方体的形状和大小，并加深理解了长方体面与面之间有以下的关系。

教師出示以下填空：

在一个长方体中，相邻的面，一定能找到                        ;相对的面，一定是             。

生：相邻的面，一定能找到相等的边;相对的面，一定是形状和大小完全相同。

（评析：借助于填空形式，引发学生对本课从展开图想象的关键要点做了概括，使学生进一步总结了观察长方体展开图和从展开图去想象长方体的形状和大小的方法。）

综观全课，教师以研究长方体的表面展开图为切入点，从长方体的几个面，想象长方体的形状和大小，并计算它的表面积和体积。训练从长方体表面展开图的分析开始，使学生进一步认识了长方体表面展开图中面与面的形状、大小和面与面位置的关系。接着选择两个长方形做长方体的两个面，通过两个面想象长方体。最后设计了从多个面中选择6个面重新组合成长方体表面展开图的巩固环节。这些训练都是为了一个目的，就是提高学生的空间想象能力。

（浙江省临海市河头镇岭景小学   317000

浙江省临海市教育局教研室   317000）