指向思维可视化的数学概念教学

【摘   要】指向思维可视化的数学教学是指借助图示、动作、文字、符号等多种数学语言相互转化的视觉学习，将看不见的思维路径显性化，有利于学生的学和教师的教。概念教学中的可视化图示工具可从前结构、单点结构、多点结构和关联结构这四个层级来建构。指向思维可视化的概念教学，可从“原型重现”“初建表象”“表征内化”“结构完善”四方面展开。

【关键词】思维可视化;小学数学;概念教学

思维可视化是指将看不见的思维路径显性化，通常借助图示、动作、文字、符号等来实现。它不仅是一种教学理念，更是一种教学行动，通过引导学生经历“直观地看”“形象地画”“出声地想”等过程，达到思维可视化的目的。

一、思维可视化在概念教学中的作用

数学概念是数学的重要基石，教学中教师要基于学科本质，借助“情境→直观→操作”，引导学生理解数学概念，经历概念形成与同化的过程，把握概念的本质意义。在这一过程中，思维可视化的作用主要体现在以下几方面。

（一）使概念具象化

数学概念教学需要还原生成概念的全过程，即意义建构的过程，但学生在理解概念的过程中往往会出现思维断层的现象。指向思维可视化的概念教学，能帮助学生跨越思维断层，促进概念意义的理解。例如，分数是一个抽象的概念，三年级学生要去理解它并不容易，教学时需要为学生提供直观模型，为学生提供看得见、摸得着的思维支架，把抽象的分数和具体的图像联系起来，促使分数概念具象化，帮助学生理解分数概念。

（二）促知识结构化

借助思维可视化，可以使“点状”的单个概念走向“网状”的概念结构。例如，周长与面积学生容易混淆。教师可以借助对“边长是4分米的正方形，面积与周长相等”的辨析展开教学，引导学生通过在格子图中画一画、列表比一比等可视化操作活动，发现周长与面积的联系和区别，形成较为完善的知识结构。

（三）让经验模型化

“四基”是新一轮教学改革的要求，数学基本活动经验是“四基”的一个维度。思维可视化不仅在数学知识结构化上会产生一定的作用，在数学活动经验模型化上也有着积极的意义。例如在面积的教学中，教师通常会引导学生经历从定性到定量的认识过程，让学生对“度量”的三要素有整体把握，建构起“度量”经验的模型。

二、概念教学中思维可视化的可用工具

曹培英认为，根据可观察的学习结果（SOLO分类评价法），可以将数学理解层次进行梯状刻画，分别是前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平。基于数学理解的这五个水平层次，笔者认为概念教学中的可视化图示工具可以从前结构、单点结构、多点结构和关联结构这四个层级来建构，分别表现为实物图、直观模型、表格、韦恩图、思维导图、概念地图、思维树等。

（一）前结构的图示工具，唤醒经验

前结构的图示，基于学生的生活经验，与现实情境紧密结合，通常表现为生活场景或实物图。例如学生在学习周长概念时已经有一些模糊的前概念，已经接触到大量的周长情境，如体育课沿着操场跑一圈、美术课的剪纸、生活中钟面上指针的走动，等等。教学时，教师可采用这些现实情境的动态演示，唤醒学生的生活经验，初步建立“一周表象”。

（二）单点结构的图示工具，聚焦本质

单点结构的图示，指向概念的本质属性。比如，直观模型是分数教学中重要的可视化思维工具，可以是面积模型，也可以采用线段模型、集合模型等。一般来说，这些图示的结构简单，主要聚焦核心要素“平均分”。在认识十分之几的分数时，就可以以这条1分米长的纸带作为学习工具（见图1），从“部分—整体”关系的角度来认识十分之几。

（三）多点结构的图示工具，厘清关系

多点結构的图示，重在沟通知识间的联系，并在知识的生长点上作重点刻画，帮助学生厘清知识之间的内在联系，通常以列表、韦恩图等形式表现。例如在四边形的认识中，教师引导学生对一组图形进行分类，让学生通过比较和分类，归纳并概括出四边形的类型，并聚焦到长方形和正方形的再认识上来，通过列表的可视方法凸现“角”“边”的特征，再用韦恩图表征两者的关系（见表1）。

（四）关联结构的图示工具，建构体系

关联结构的图示，重在表现知识链与思维链纵横交错的结构。思维导图、概念地图、思维树等就属于这一层级的可视化工具。例如在概念教学中，教师可用节点表示概念，连线表示概念之间的关系，通过提纲式、辐射式、发散式等不同思维路径反映概念之间的层级关系，建构知识体系。

三、指向思维可视化的概念教学结构

指向思维可视化的概念教学，可经历“原型重现→初建表象→表征内化→结构完善”的过程，达到概念建构的目的。

（一）“原型”搭桥，对接生活经验

概念教学的起始阶段，思维可视作用主要体现在与生活经验对接上，以“直观地看”为主要活动形式。一般在课堂上，教师会采用前结构的图示，即用生活中的原型来引入。现实生活中的原型（前概念）是理解概念不可或缺的学习素材。例如，分数的原型之一是“平均分物”，教学中用“分蛋糕”作原型，经历以下学习过程。

1.出示情境图，唤醒生活经验：4个蛋糕平均分给2个人，每个人分到几个？2个蛋糕呢？1个蛋糕呢？你能用合适的数分别表示平均分的结果吗？

2.动态直观演示，初步感悟分数：结合对1个蛋糕平均分的动画演示，理解“半个→[12]个”“[13]个”“[14]个”是多大。

在这里，教师像引入自然数一样引入分数，借助平均分的生活原型，唤醒学生的生活经验。为让学生初步认识分数，积累等分经验，教师引导学生参与创造[12]，利用[12]个、[13]个、[14]个的实物模型，让学生知道分数的意义，在具体“平均分”的可视化情境中初步建立分数概念。

（二）“表象”支撑，对接心理图示

在初识概念后，概念会以一定的表象在学生的头脑中编码储存，从而产生心理图示。这时候，教师就要提供呈单点结构或多点结构的可视化图示，引导学生经历“直观地想”“形象地画”等可视化学习过程，促成概念表象的具象化。例如“1厘米”表象的建立，教师就可借助尺子这一可视化学习工具，采用以下几个步骤组织教学。

1.尺子上的1厘米：这把尺子中隐藏着许多1厘米，请你在尺子上找一个你心中的1厘米。

2.生活中的1厘米：哪些物体的长度或厚度大约是1厘米？

3.头脑中的1厘米：闭眼想象、用手比画1厘米有多长，再徒手画一画。

通过找、想、比、画等可视化的方式，物化学生头脑中的1厘米，转化成学生可触摸的指甲长度、书本厚度等生活参照物，化抽象为具体，帮助学生建立起1厘米的表象。

（三）“表征”操作，对接概念内涵

莱什提出数学学习的五种表征（见图2），分别为实际生活情境、图像、操作模式、口语符号和文字符号。当学生对概念表象具象化时，教学应借助这五种表征活动让概念表象操作化与活动化，实现多种表征之间的沟通互译，促进概念的深化理解，这是概念教学精致化的过程。

例如认识几分之几的教学，学生虽然有几分之一的概念，但认知经验和活动经验还显得比较单薄，教学中依然需要通过折一折、画一画、说一说、辩一辩等多元表征活动，让学生借助四等分的正方形创造四分之几，在动手操作中感受四分之几的含义。活动后，组织学生汇报，并针对学生可能出现的情况，教师追问梳理，分4个层次。

追问1：这些分数里面各有几个[14]？

学生对于[44的]理解可能会有困难，教师可以结合图示以及其与[14]的联系来让学生理解[44]。

追问2：为什么涂色部分的形状不一样，却都可以用[34]来表示？

追问3：你知道下面图形中涂色部分是整个图形的[□□]吗？（长方形、圆、三角形、线段）

追问4：在下面的巧克力图中，你能找到哪些分数（平均分成2份;平均分成4份;平均分成8份）？与同桌一起找一找，并说一说每个分数表示什么。

在这一过程中，教学所采用的图示思维工具一般是多点结构的，教学经历动手操作、画图说明、语言表达、生活拓展等思维活动，与分数建立互译沟通，帮助学生理解分数概念。

（四）“结构”完善，对接概念体系

在概念深化理解的过程中，需要对学生的认知结构进行改組与扩充，形成概念网。例如学完“比”后，需要对“除法”“分数”“比”这三者之间的关系进行梳理，可通过列表（见表2）厘清概念之间的内在联系与区别，完善认知结构。

综上所述，利用可视化工具，让学生在概念的产生、形成、理解、深化的过程中，实现概念的意义建构、概念体系的建构。

指向思维可视化的概念教学意味着教学研究的视角亦要革新。在课前，教师需要深度解读概念的本质，明了思维可视化在本课教学的落脚点;需要深度理解学生，把握学生的前概念水平;需要深度解读教材，明晰可视化思维的支架有哪些及如何用好这些支架;需要深度设计教学，把握指向思维可视化的教学路径。

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[3]尹晗，张际平.思维可视化视角下的未来课堂架构研究[J].远程教育杂志，2016（2）：106-112.

[4]席爱勇.数学多元表征：让概念形成过程“看得见”[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2017（9）：65-67.

（浙江省杭州市富阳区富春第二小学   311400）