人教版“质数与合数”教材纵向比较研究

何英

【摘   要】教材的纵向比较研究主要是从历史的视角，对不同时期的教材进行分析、对比研究。一方面可以对所研究的内容有更为全面和深入的理解和掌握;另一方面可以通过分析、对比“质数与合数”这一内容的编写异同，了解小学数学教学的历史，感悟历史前进的足迹。

【关键词】质数;合数;不同时期;教材比较

教材纵向比较研究主要是比较不同历史时期教材的异同。本文主要对人教版1989年和2014年教材中“质数与合数”的教材引入、概念呈现、概念巩固、分解质因数与习题类型等内容进行分析对比研究。

一、教材的引入部分是怎样编写的？

教材的引入直接体现了编者对数学知识产生的认识。以下是对两个不同时期教材关于质数与合数的引入的研究过程。

1989年版教材直接给出5个数，写出每个数的约数，并按约数的个数分类（如图1）。

2014年版教材要求找出1～20各数的因数，根据因数个数找规律并分类（如图2）。

从以上的教材引入过程，可以得出它们的共同特点：教材都是从写数的因数引入，按照因数的个数去分类，注重对学生分类思想的培养。而它们的不同点主要有以下这些。

（一）數的个数：由少到多

1989年版教材中先给出了问题：写出下面每一个数的约数。按照每一个数约数的多少，可以分哪几种情况？并给出了1，5，9，11和12这5个数，根据这5个数的因数个数进行分类。而2014年版教材引入部分的研究对象是从1～20这些数中找出因数，再根据它们的因数个数不同进行分类。

从5个数到20个数，量有了很大的变化，说明学生要写数的个数，客观思考的量上大了很多。在考察个别数的特殊例子中的因数个数的多少后，逐步地归纳出这样一类：只有1和它本身两个因数的数，我们叫质数。这是一个归纳的过程，它是一个从特殊到一般的过程。特殊的例子多一点，当然就有利于归纳出一般的结论。比较两版教材数的个数增多，更有利于学生寻找规律，进行归纳和分类。

（二）问题提出：从封闭到开放

1989年版教材中的问题是：可以分哪几种情况？明显暗示了学生要进行分类。而2014年版教材中的问题是：看看它们的因数的个数有什么规律？相比较1989年版教材开放度更高了，更适合不同层次的学生。规律的寻找可以通过分类，也可以是按照某一个规律。笔者把20个数的因数及因数的个数罗列成下表（如表1）。

学生可能会提出：每一个数的最小的因数都是1;每一个数的最大的因数都是它本身;有些数的因数个数是奇数（平方数的因数个数是奇数）;有些数的因数个数是偶数（非平方数的因数个数是偶数）……这些都可以是学生所找到的规律。在这个表格中学生还可以有很多自己的猜测：1只有1个因数，最为特殊，单独分为一类;有2个因数的数最多，所以也单独分为一类;其他的分为一类……由此可见，两个不同时期的教材在问题的提出上，从封闭到开放的过渡，更有利于培养学生的思维能力。

（三）结果呈现：从直接到间接

1989年版教材在提出问题后，紧接着对问题进行了直接回答。教材中呈现了每一个数的约数。这是对问题中的第一问“写出每一个数的约数”作出的回答;之后将五个数进行了分类。这是对问题中的第二问“按照每一个数约数的多少，可以分哪几情况”作出了直接回答。教材中每个数的因数和分类结果都是直接呈现的。

2014年版教材中是通过同伴之间对话的形式呈现结果的，而不是教材直接给出的。这是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。这表明：教学过程中，教师不应直接将结果告诉学生，而应该让学生自己去学习，并且通过小组相互交流填写表格的方式间接得出结果。

从1989年版教材直接给出结果，到2014年版教材让学生通过交流、填写表格间接得到结果，显然后者更有利于学生活动的开展。

（四）学习方式：强调交流

比较两个不同时期教材中学生的学习方式，1989年版教材中都是以提问和解答的形式呈现，不强调学生的交流。而2014年版教材注重对学生合作交流能力的培养，明显强调学生的交流。

对比不同时期的教材，无论是从数的个数、问题提出、结果呈现还是学习方式上看，都表明现在的教材对学生学习的整体要求在不断提高，更有利于培养新世纪人才。

二、概念的呈现是怎样编写的？

1989年版教材和2014年版教材都是直接呈现质数与合数的概念（如图3、图4）。

不同时期的教材没有太大变化，呈现的方式基本一致，都明确呈现了质数与合数的概念，并对质数与合数分别进行了举例。

1989年版教材中对质数与合数的举例，选用了前面分类过的数。质数与合数各有两个，还有一个是特殊的1。2014年版教材中不仅选用了教材分类的20个数，还用了这20个以外的数进行举例，合数中举例了49，说明教材要求学生具有一定的迁移能力。这不仅是对定义的理解，更是对定义的应用与强化。同时两个不同时期的教材都强调了“1”的特殊性，进一步加深了学生对某些特殊数的认识。

三、概念的巩固环节是怎样编写的？

1989年版教材中通过例2判断6个数是质数还是合数，并给出100以内的所有质数（25个），提供学生查阅（如图5）。

2014年版教材中学生根据合作探究和解决方法的提示语，通过筛选探究寻找出百以内的质数（如图6）。

1989年版教材中编排了一题根据概念判断数是质数还是合数的练习。2014年版教材中没有编排任何判断的练习。

1989年版教材中100以内的25个质数是直接呈现的，并注明：要知道一个数是不是质数，也可以查质数表。直接把百以内质数表作为一种工具呈现给学生。2014年版教材中出示了1～100所有的数，要求学生找出100以内的质数，做一个质数表。在制作质数表的过程中方法可以是多样的，学生可以根据概念一个一个数去找，也可以利用教材下面给出的方法：思考、讨论2的倍数，3的倍数（除2和3外），画去这些合数，并抛出问题：画到几的倍数就可以了？让学生运用多样的方法，这是对学生学习个性的尊重和差异的尊重，因为每个学生都能从中感受到成功的喜悦。又因为差异较大，所以更能促进学生之间的相互交流。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。五年级的学生已具备一定的观察、分析和理解能力，也掌握了學习数学的方法。同时他们对学习充满了热情和好奇心，迫切地希望通过自主探究，了解掌握学习的内容。因此，选择探究性的学习方式进行教学，可以培养学生动手操作、思考、探究的能力。

四、分解质因数是怎样编写的？

1989年版教材中根据课题“质数和合数，分解质因数”，在例1和例2的质数与合数的内容后，安排了例3和例4的分解质因数。

例3：判断合数，并写出合数是由哪几个质数相乘得到的。把合数写成几个质数的乘积，同时出示了质因数与分解质因数的概念（如图7）。

例4：用短除法的形式把3个合数分解质因数，并用文字描述的形式介绍用短除法分解质因数的方法（如图8）。

2014年版教材中在质数与合数知识后，编排的第二部分内容是奇数与偶数的运算性质。

两个不同时期的教材对于质数与合数后续知识的编排各不相同。1989年版教材编排了“分解质因数”的内容，分解质因数是一种重要的方法技能。1989年版教材以例3和例4两个例题呈现。而2014年版教材编排了“奇数与偶数的运算性质”。分解质因数是建立在质数与合数的基础之上的，质数与合数概念本身不同于奇数与偶数的特征那么明显，相对隐性不易于学生理解与感受，学生容易把这四者之间的关系混淆起来。两种不同的编排都有各自的益处。

笔者翻阅了2014年版全册教材，发现“分解质因数”这一内容在教材第69页上也有呈现，但它是以“你知道吗”这一形式补充呈现的（如图9）。书本上的“你知道吗”这一栏目中的内容一般分为两类：一类是教材内容的延伸，一类是与教材内容相关的小知识介绍。学生只需要了解即可。

由此可以看出，“分解质因数”的地位在慢慢地下降。教学内容的编排取决于课程标准。于是笔者查阅了不同时期的课程标准，对于“分解质因数”的要求也是不同的。

1988年版课标（大纲）的教学要求是：掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，了解它们之间的联系和区别，掌握能被2，5，3整除的数的特征。会分解质因数（不超过两位数）。会求最大公约数和最小公倍数。

2011年版课标的具体目标是：在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2，5，3的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。在1～100的自然数中，能找到某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。知道整数、奇数、偶数、质数、合数。

可见，不同时期课程标准的要求不一样。1988年版课标（大纲）要求学生会分解质因数（不超过两位数），而2011年版课标中已经不提及“分解质因数”这个知识的任何目标要求了。

“分解质因数”的作用之一是运用异分母分数加减法：要通分，找最小公倍数。找最小公倍数用“分解质因数”是比较方便的。但前提是数据要相对较大，如果规定分母原则上不超过两位数（不大于10），那么“分解质因数”的作用自然就下降了。所以2014年版教材将“分解质因数”这个内容作为“你知道吗”来编排也就可以理解了。

五、练习类型是怎样编写的？

练习题的安排体现了教材编者对于知识训练的要求，练习题的难易程度反映了教材编者对教学的要求。笔者把不同时期的教材练习题分成两类：第一类是两种教材都有的练习题类型，第二类是一种教材独有的练习题类型。

（一）两种教材都有的练习题类型

1.根据质数与合数的概念，判断数是质数还是合数。

2.联系奇数、偶数，判断它们和质数与合数是否相同。

3.把给定的数填入到相应的质数与合数的圈中。

以上几种类型的练习题，无论呈现形式是填空还是判断，基本一致。可以看出判断一个数是质数还是合数这是最基本的知识内容;奇数、偶数、质数与合数的练习编排，说明在学生新学两个概念后，需要和已有概念进行对比区分。

（二）一种教材独有的练习题类型

1989年版教材中编排了用筛选法找质数的练习题（如图10）。

1989年版教材把用筛选法找质数的内容编排在练习题中，而2014年版教材是编排在新授课中的。可见虽然不同时期的教学要求与教学观念有着较大的差异，但对于学生动手操作能力、思考探究能力的培养同样重视。

2014年版教材中编排了两道通过对话交流的形式来巩固所学的练习（如图11、图12）。

教材在编排练习时，通过同伴间的对话交流形式，借助学生的已有知识和新学知识进行沟通探索，同时巩固所学。这样的编排引导学生综合应用知识来解决数学问题，培养了学生的应用意识和创新意识。

通过以上对两个不同时期教材的比较研究可见，教材的编写有着它自身的时代气息。1989年版教材内容全面，知识性强，层次清晰，教学脉络一目了然。2014年版教材内容用图片、文字、表格等多种形式呈现，重视题型的开放性和探究性，注重对学生探究性和思想方法的引导。教材内容的编排对学生的综合素养要求越来越高。

（本文在研究过程中，得到了朱乐平老师的多次悉心指导，在此，表示衷心感谢！）

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 罗永军.长方形面积计算教学研究[M].上海：上海教育出版社，2013.

[3] 朱乐平.圆的认识教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.

[4] 邵虹.圆的面积教学研究[M].北京：教育科学出版社.2014.

（浙江省杭州市崇文实验学校   310014）