关于半对偶模的两个特殊模类及投射维数

何东林

(陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500)

0 引言

1 引理

引理3[4]I(R)⊆CorW(R)且P(R)⊆AcorW(R).

引理4[5]设C是R-模，D是R-模类且对任意D∈D有vD是同构，则以下条件等价：

引理5[5]设C是R-模，D是R-模类且对任意D∈D有uD是同构，则以下条件等价：

2 主要结论

定理1设M是R-模，则以下条件等价：

证明由引理4、W-余自反模和伴随W-余自反模的定义易证.

定理2设M是R-模，则以下条件等价：

1) 模M具有CorW(R)-预覆盖(CorW(R)-覆盖)；

2) 模HomR(W,M)具有AcorW(R)-预覆盖(AcorW(R)-覆盖).

证明由引理5、W-余自反模和伴随W-余自反模的定义可证.

根据引理3及文献[5]中命题2.6可得如下两个推论.

推论2设M是R-模，则M具有满的CorW(R)-覆盖当且仅当M∈CorW(R)且HomR(W,M)具有满的AcorW(R)-预覆盖.

定理3设M是R-模且{M}∪CorW(R)⊆W⊥，则：AcorW(R)-pd(HomR(W,M))≤CorW(R)-pd(M).

证明若CorW(R)-pd(M)=+，则不等式显然成立.若CorW(R)-pd(M)<+，不妨设CorW(R)-pd(M)=n，则由引理2知，存在长度为n的正合列：

(1)

(2)

考虑行正合交换图，如图1.

图1 公式(2)导出交换图
Fig.1 Communicative diagram induced by formula (2)

由图1中上行正合列及Ai∈AcorW(R)知，AcorW(R)-pd(HomR(W,M))≤CorW(R)-pd(M).因此不等式成立.

证明若AcorW(R)-pd(M)=+，则不等式显然成立.若CorW(R)-pd(M)<+，不妨设AcorW(R)-pd(M)=m，则由引理2知，存在长度为m的正合列:

0→HomR(W,Cn)→…→HomR(W,C1)→HomR(W,C0)→M→0，

(3)

(4)

(5)

定理5设M是R-模且{M}∪CorW(R)⊆W⊥，则:AcorW(R)-id(HomR(W,M))≤CorW(R)-id(M).

证明若CorW(R)-id(M)=+，则不等式显然成立.若CorW(R)-id(M)<+，不妨设CorW(R)-pd(M)=n，则由引理2知，存在长度为n的正合列:

(6)

其中Ai∈AcorW(R)(0≤i≤n).因为{M}∪CorW(R)⊆W⊥，所以用函子HomR(W,-)作用于序列(6)可得如下正合列:

(7)

图2 公式(7)导出交换图
Fig.2 Communicative diagram induced by formula (7)

由图2中上行正合列可得，AcorW(R)-id(HomR(W,M))≤CorW(R)-id(M).因此不等式成立.

证明过程与定理5类似.