非局部问题在第二边界条件下解的存在性

叶红艳,索洪敏,李 伟,袁 恋

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025)

0 引言

文献[1]考虑如下方程:

其中Ω⊆RN是一个光滑有界区域,N≥3,10,λ>0,u+=max{u,0},利用变分方法来获得三个非平凡解的存在性;文献[2]研究Banach空间中二阶发展方程非局部问题,在非线性项满足一定条件的情形下,运用算子半群理论及相关不动点定理得到了所研究问题mild解的存在性;文献[3]研究一类带非线性阻尼边界条件的Kirchhoff型波动系统解的渐近性态,当初边值满足一定条件时,运用 Faedo-Galerkin 近似方法,结合Gronwall引理,建立两个先验估计,再利用叠代方法将系统存在于区间中的唯一解扩展到区间上,从而证明了波动系统解的存在性及唯一性;在波动系统稳定性的讨论中,引入能量方程,运用扰动能量方法,证明了系统能量随时间以指数形式一致衰减.对于Neumann边值问题,文献[4-5]作了相应研究.因此,受上述文献的启发,本文将其相关结果推广至Kirchhoff型的Neumann边值问题.考虑如下一类非局部问题解的存在性:

(1)

(2)

(3)

其中C,C1,C2,…表示各种正常数,在不同的行或段落它们可以表示不同的正常数.而-<λ1<λ2≤…≤λj≤…是特征值,φj是特征值所对应的特征函数.

1 主要结论

定义能量泛函为:

(4)

如果∃u∈H1(Ω),使得对∀v∈H1(Ω)都有:

(5)

则称u是问题(1)的弱解.

定理1假设1

2 PS条件

首先证明Iμ(u)满足PS条件.

引理1设10.则泛函Iμ(u)的每一个PS序列都是有界的.

证明设{un}⊂X是泛函Iμ的一个PS序列,满足:

(6)

(7)

当n→时,有εn→0.由式(6)和式(7),可得:

(8)

根据式(7),可得：

(9)

其中u-=max{-u,0}.由式(6),式(8)和式(9),可推断出|Iμ(un)-〈Iμ′(un),un-〉|≤C,可得：

(10)

采用反证法,假设‖un‖→.首先证明在X中un+是有界的,因此假设‖un+‖→.根据式(10)知un-是无界的.令因{vn}在X中是有界的,存在v∈X使得：

(11)

根据式(10),存在δ>0满足: ‖un-‖≥δ‖un+‖2,(n→).

(12)

(13)

即：

其中v≠0且v≤0,这是矛盾的,因λ不是第一特征值.因此推断出在X中{un}是有界的.

证明设{un}⊂X是泛函Iμ的PS序列,满足：

Iμ(un)→c,|〈Iμ′(un),h〉|≤εn‖h‖,∀h∈X.

(14)

当n→时,有εn→0.由引理1知{un}是有界的.因此,存在序列{un}的一个子列(仍记为{un})以及u⊂X,使得：

(15)

因{un+}在X中是有界的,根据文献[6]中的推论,可得{un+}在L2*(Ω)中也是有界的.从而存在序列{un+}的一个子列(仍记为{un+})以及u+⊂X,在L2*(Ω)中有un+→u+.由式(3)和式(4),可得：

(16)

(17)

及根据Brezis-Lieb′s引理,可得：

(18)

由式(18),可得：

(19)

另一方面,由式(14)并再次运用Brezis-Lieb′s引理,可得：

(20)

3 问题(1) 第一个解的存在性

考虑如下泛函Iμ+:X→R,

其中Iμ+∈C1及临界点u+满足u+≥0,同样对于Iμ也是成立的.

引理4对任意的μ>0.则平凡解μ≡0是能量泛函Iμ+的局部极小值点.

引理5在一个有界集中,对任意的μ>0.则存在t0,使得Iμ+(t0φ1)≤0.

证明用φ1表示与特征值λ1相关联的正特征函数,对t>0,有:

因λm<λ<λm+1及1

其中:

τ+={γ∈C([0,1],X);γ(0)=0,γ(1)=t0φ1}.

4 问题(1) 第二个解的存在性

为了得到负解,考虑如下泛函Iμ-:X→R，

其中Iμ-∈C1及临界点u-满足u-≤0,同样对于Iμ也成立.将再次应用山路引理，得到Iμ-的一个临界点.

引理6对任意的μ>0.则平凡解μ≡0是能量泛函Iμ-的局部极小值点.

引理7在一个有限集中,对任意的μ>0.则存在t0,使得Iμ-(-t0φ1)≤0.

证明对t>0,有:

因λm<λ<λm+1及1

其中:

τ-={γ∈C([0,1],X);γ(0)=0,γ(1)=-t0φ1}.