一类带变号权函数的二阶差分方程Dirichlet边值问题正解的存在性

张亚莉

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

(2010 MSC 26A33)

1 引 言

近年来,微分和差分方程边值问题正解的存在性引起了许多学者的关注[1-11].然而,就我们所知,相应的差分方程边值问题的研究工作却相对较少.特别地, Zhang等[1]运用临界点理论研究了二阶差分方程Dirichlet边值问题

Δ2u(t-1)+λf(u(t))=0, t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(1)

Δ2u(t-1)+λa(t)f(u(t))=0, t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(2)

文献[1-2]分别在权函数a(t)=1和a(t)≥0情形下研究了非线性差分方程边值问题正解的存在性.我们自然要问:当二阶差分方程权函数变号时,正解的存在性又将如何?本文在权函数变号的情况下研究问题(2)的正解的存在性，所用方法为Leray-Schauder不动点定理.

记G(t,s)为问题Δ2u(t-1)=0, t∈[1, T]Z, u(0)=u(T+1)=0的Green函数，a+(t)=max{0,a(t)}, a-(t)=max{0,a(t)},t∈[1,T]Z.本文总假定:

(H1) λ是一个正参数;

(H3) a:[1,T]Z→R,a不恒为0,且存在常数μ>1使得

t∈[0,T+1]Z.

本文主要结果如下:

定理1.1假设条件(H1)～(H3)成立.则存在λ*>0,使得当0<λ<λ*时问题(2)至少存在一个正解.

2 预备知识

引理2.1(Leray-Schauder 不动点定理[12]) 设E是Banach空间,算子A:E→E全连续.若集合{x|x∈E,x=θAx,0<θ<1}是有界的,则A在闭球T中必有不动点,其中T={x|x∈E,‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=θAx,0<θ<1}.

引理2.2设h:[1,T]Z→R.则二阶线性差分方程Dirichlet边值问题

Δ2u(t-1)=-h(t), t∈[1, T]Z,

u(0)=u(T+1)=0

(3)

证明 只需验证u(t)满足问题(3).事实上,

所以

Δ2u(t-1)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)=

s(T-t))h(s)+(t-1)(1+T-s)h(t-1)+

t(T-t)h(t)-2(t-1)(1+T-t)h(t-1)+

(t-1)(1+T-s))h(s)-2t(1+

T-t)h(t)+(t-1)(2+T-t)h(t-1)+

(t-1)(1+T-t)h(t))=

-h(t).

另一方面,易证u(0)=u(T+1)=0.因而u(t)满足问题(3).

Δ2u(t-1)+λa+(t)f(u(t))=0, t∈[1, T]Z

u(0)=u(T+1)=0

(4)

t∈[0,T+1]Z

(5)

显然，A(X)⊂X,A是全连续算子，且A的不动点就是问题(4)的解.由于f连续,f(0)>0,取充分小的ε>0使得

f(u)≥δf(0), 0

(6)

(7)

所以

(8)

证毕.

3 主要结果的证明

定理1.1的证明 令

即

(9)

q(t)|f(u)|≤γp(t)f(0), 0

(10)

固定δ∈(γ,1)并设λ*>0,使得当0<λ<λ*时有

(11)

(12)

对于0<λ<λ*,设vλ(t)是问题

(13)

对任意的w∈X,由引理2.2定义算子

w(s))),t∈[1,T]Z

(14)

显然T(X)⊂X,T是全连续算子,且T的不动点就是问题(13)的解.由引理2.1,设v∈X,0<θ<1,满足v=θTv.则

(15)

我们断言

‖v‖≠λδf(0)‖p‖

(16)

反设‖v‖=λδf(0)‖p‖.则

(17)

且

‖p‖≤λ*δf(0)‖p‖

(18)

由(12)式知

(19)

结合(15)和(19)式得

根据引理2.1,T存在一个不动点vλ(t)满足‖vλ‖≤λδf(0)‖p‖,且

从而uλ(t)是问题(2)的一个正解.证毕.