统计与概率背景下的递推数列

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

数学知识之间存在着纵向和横向的有机联系,这些联系的交汇点往往是各类考试命题的“热点”.统计与概率内容是数学知识的综合应用,也是中学数学一个重要的交汇点,已经成为联系多项知识内容的媒介;数列是高中数学的重点内容,易与其它内容交汇融合.2019年高考全国卷Ⅰ理科第21题(压轴题)出现概率与数列两者知识点的交汇考查,引起教师与学生的较大反响.由于此类考题条件多,背景新颖,成为近年各种考试的一个热点问题,其所考查的数学知识和思想方法相当深刻,难度也较大.

鉴于上述情况,本文采撷几例进行分类解析,展示统计概率与数列交汇的美妙,旨在揭示解题的规律与方法.

题型一:an=pan−1+q型

例1(2018年山东省高中数学联赛竞赛预赛第5题)甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下,规定谁先掷出正面朝上为赢: 前一场的输者,则下一场先掷,则甲赢得第n场的概率为___.

解答设甲赢得第n场的概率为pn,在每一场,先掷的人赢得的概率为

例2(2017年贵州省高中数学联赛竞赛预赛第14题)掷一枚硬币,每次出现正面得1分,出现反面得2分.反复掷这枚硬币,则恰好得n分的概率为____.

解答设pn表示恰好得到n分的概率.不出现n分的唯一情况是得到n−1分以后再掷出一次反面.

例3(2017年广西省高中数学联赛竞赛预赛第6题)一名篮球队员进行投篮练习.若第n次投篮投中,则第n+1次投篮投中的概率是;若第n次投篮不中,则第n+1次投篮投不中的概率是.若该队员第1次投篮投中的概率为则第4次投篮投中的概率为___.

解答设该队员投进第n−1个球的概率为an−1,投失的概率为1−an−1,则投进第n个球的概率为所以

评注求解这类问题要求掌握互斥事件,独立事件的概率及递推数列的相关知识,同时要具备分析、归纳、推理等理性思维方法进行正确合理地判断、推理,建立起递推数列模型,并能准确清晰有条理地进行表述.由递推关系可用待定系数法: 如例2,由即,整理解得将其转化为等比数列,从而求得相应的通项公式.

题型二:an+1=pan+f(n)型

例4A,B,C,D人互相传球,由A开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到A手中,则不同的传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？

评注这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解,直观形象,但若人数、次数较多时树形图法则力不从心,而建立递推数列模型则可深入问题本质.解答过程中利用换元思想,将递推关系ak+1=3k−ak转化为题型一的类型,再构造等比数列进行解决.

题型三:an+1=an·f(n)型

例5(结草成环问题)现有n(n∈N∗)根草,共有2n个草头,现将2n个草头平均分成n组,每两个草头打结,求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数.

解答将2n个草头平均分成n组,每两个草头打结,要使其恰好构成圆环,不同的连接方法总数an.

图1

将草头编号为1,2,3,...,2n−1,2n.

草头1可以和新草头3,4,5,...,2n−1,2n共2n−2个新草头相连,如图1所示.

假设1和3相连,则与余下共n−1条相连能成圆环的方法数为an−1.

评注递推关系型如an+1=an·f(n)的问题,一般利用叠乘(累乘)法进行解答,其关键在于找到an与an+1的递推关系.

题型四:二阶线性递推数列(an+1=pan+qan−1型)

例6(2019年高考全国卷Ⅰ理科第21题)为了治疗某种疾病,研制甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,···,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api−1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1),假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{pi+1−pi}(i=0,1,2,···,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值为−1,0,1.于是P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=α(1− β).

所以X的分布列为

X1 0−1 P(1−α)β αβ+(1−α)(1−β)α(1−β)

(2)(i)因为α=0.5,β=0.8,由 (1)得a=P(X=−1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1.

因为pi=api−1+bpi+cpi+1,所以pi=0.4pi−1+0.5pi+0.1pi+1,故 0.1(pi+1−pi)= 0.4(pi−pi−1),即pi+1−pi=4(pi−pi−1).

又因为p1−p0=p10,所以{pi+1−pi}(i=0,1,2,···,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.

(ii)由(i)可得

由于p8=1,故所以

p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为此时得出错误结论的概率非常小,说是这种试验方案合理.

例7(2018年湖南省高中数学联赛预赛B卷第12题)棋盘上标有第0,1,2,...,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为pn.

(1)求p3的值;

(3)求p99,p100的值.

解答(1)棋子跳到第3站有以下三种途径:连续三次掷出正面,其概率为第一次掷出反面,第二次掷出正面,其概率为第一次掷出正面,第二次掷出反面,其概率为因此

评注①例6的问题(2)与例7的问题(2),(3)基本一致,例7可以看作例6的“题源”,只是将题目进行适当的改编,赋于更丰富的命题背景而已,这说明命题专家很重视命题的传承和相互借鉴.所以在高考的备考中,除了要进行高考真题的训练外,还可以适当加入一些接近高考难度的高中数学联赛题的训练.②例7不能孤立地去研究,而是从跳到第n站的过程分析,它可能是从第n−1站跳来的,也可能是从第n−2站跳来的,于是得到pn与,pn−1,pn−2之间的递推关系,从而转化为一个数列问题.③二阶线性递推数列问题,一般还是转化为等比数列,其中常用到数列中叠加(累加)法.

题型五:二阶非线性递推数列

例8(2015年河南省高中数学联赛预赛高二试题第五题(压轴题))由数字1,2,3,4,5,6构成的且含有1,6相邻的n位数有多少个？

解答设由数字1,2,3,4,5,6构成的且含有1,6相邻的n位数有an个;记由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是1且含有1,6相邻的n位数有bn个.在每一个bn中交换1和6的位置得由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是6且含有1,6相邻的n位数也有bn个.

由数字1,2,3,4,5,6构成的且含有1,6相邻的n位数可以分三类:

第一类:由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是1且含有1,6相邻的n位数,这样的数有bn;

第二类:由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是6且含有1,6相邻的n位数,这样的数有bn;

第三类:由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是2,3,4,5之一的且含有1,6相邻的n位数,这样的数的后n−1位仍是由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是1且含有1,6相邻的n−1位数,共有4an−1个,于是

而记由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是1且含有1,6相邻的n位数也可以分三类:

第一类:第二位是6的且含有1,6相邻的n位数,这些数的后n−2位上的数字可以是1,2,3,4,5,6任一,故共有6n−2;

第二类:第二位仍是1的且含有1,6相邻的n位数,这些数从第二位起的后1-2位上的数字是由数字1,2,3,4,5,6构成的首位数字是1,6且含有相邻的n−1位数有bn−1个;

第三类:第二位是2,3,4,5之一的且含有1,6相邻的n位数,这些数的后n−2位是由数字1,2,3,4,5,6构成且含有1,6相邻的数,共有4an−2个,于是

评注可以看出,涉及二阶非线性递推数列的问题,难度较大,本题解答过程先换元转化为二阶线性递推关系,再进一步转化为等比数列问题,需要较强的运算能力;另外本题的多次分类讨论是解题的另一个难点,要有清晰的分析能力,才能做到不重不漏.

题型六:多重递推数列

例9(2016年浙江省高中数学联赛预赛第20题)设正整数n≥2,对2×n格点链中的2n个结点用红(R)、黄(Y)、蓝(B)三种颜色染色,左右端点中的三个结点已经染好色,如图2所示.若对剩余的2n−3个结点,要求每个结点恰染一种颜色,相邻结点异色,求不同的染色方法数.

图2

解答对2×n格点链中的2n个结点用红(R)、黄(Y)、蓝(B)三种颜色染色,其中左端点染红色与黄色,设右端点染色为P,Q,如图3所示.

图3

记P=R(或Y),B=Q时的着色数目为an;

记P=B,Q=R(或Y)时的着色数目为bn;

记P=R,Q=Y,或者P=Y,Q=R时的着色数目为cn.

注意到:(1)若右端没有约束时,每增加一个格子都有3种不同的着色方法,则an+bn+cn=3n−1;

(2)由对称性,即将图形上下翻转,并且颜色R和Y互换,可知an=bn;

(3)考虑相互的递推特征,则an=2bn−1+cn−1.

图4

图5

这样an=2bn−1+cn−1=an−1+bn−1+cn−1=3n−2,即为问题所求的不同的染色方法数.

评注多重递推数列问题难度较大,一般没有通性通法,解题时要弄清题意,注意分类的方式与方法,做到不要遗漏,同时注意数形结合.

以能力立意是数学命题的指导思想,在知识网络交汇处设计试题是命题的新特点和大方向.统计与概率背景下的递推数列的题目正是在这种背景下闪亮登场,频频出现在各类考试题中,这些题目从表面看是以统计概率的形式呈现出来的,但需要综合使用数列与统计概率的主干知识,其综合性较强.

一般地,解决统计概率背景下的递推数列问题,首先利用所学的统计与概率知识进行仔细分析问题,建立与之对应的递推数列模型,然后对递推关系灵活变换,运用累加、累乘、迭代、构造新数列,待定系数法等方法化归为等差或等比数列问题,再求出数列的通项公式.另外,在教学过程中要突出问题背景,加强与各部分知识的联系,引导学生做到融会贯通.