例说导数问题中的构造法*

北京市第四中学(100034) 唐绍友

高中阶段学习导数不是纯粹为了求函数的单调区间与极值,而根本目的是为了更深入地研究函数与方程、不等式等问题,用导数研究函数与方程、不等式是必修1的初等方法研究的延续和拓展,即导数是研究函数与方程、不等式的新工具,用此工具解决相关问题需要一定的技巧,比如适当变形、等价转化、分类讨论、精心构造等手段常常是用导数研究函数与方程、不等式的重要方法.基于此,本文仅对构造法做一些探讨.

1.根据导数特征构造函数

例1已知函数f(x),x∈R,满足f(2)=3且f′(x)−1＜0,则不等式f(x2)＜x2+1的解集是___.

分析根据导数特征:f′(x)−1,可以想到它的一个原函数f(x)−x.

解设g(x)=f(x)−x(x∈R),由题意可知:g′(x)=f′(x)−1＜0,所以g(x)在R上递减,由f(x2)＜x2+1得f(x2)−x2＜1=f(2)−2,即g(x2)＜g(2),所以所以原不等式的解集是

评析(1)根据导数特征想到一个原函数,这是比较常用的方法之一.比如: 由f′(x)g(x)+f(x)g′(x),可构造F(x)=f(x)g(x),由f′(x)g(x)−f(x)g′(x)＜0,可构造特别地,由xf′(x)−f(x)＜0可构造由xf′(x)+f(x)＜0 可构造:F(x)=xf(x);(2)由于本题是填空题,所以可以构造特例解决.比如构造函数满足题设条件,然后代入不等式解得答案.这样的解法不是严格解法,只适合求解选填问题.

2.根据分式极限的特征构造导数定义模型

评析当然本题也可以用洛必达法则求极限.但超越了高中要求.构造导数定义模型的关键在于构造函数平均变化率的表达式.

3.根据超越方程的特征构造函数图象

例3已知函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )

分析问题归结为求f′(x)=0有两不等实根时的a的取值范围.而解决超越方程的实根问题主要依靠图象解决.

解法1f(x)定义域是(0,+∞),f′(x)=lnx+1−2ax,令f′(x)=0可得:lnx=2ax−1,令g(x)=lnx,h(x)=2ax−1,画出两个函数的图象,要它们有且只有两个不同交点,则先算出直线h(x)=2ax−1与g(x)=lnx相切时的a值.设切点P(x0,lnx0),则且 lnx0=2ax0−1,解得:由图象可知:当时,两图象有两个不同交点,即时,函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点.

评析在解法1中,构造两个函数图象时,要以这两个图象比较熟悉为准且极端位置容易确定.比如上述两个图象都是基本初等函数的图象,这样减少了作图的难度.除了以上方法之外,还有其它的解题思路.解法2:直接研究导函数f′(x)=lnx+1−2ax的零点,通过再次求导,再讨论a＞0,a=0,a＜0的情况,可以解决.解法3(分离参数):令f′(x)=lnx+1−2ax=0,得令易证x=1是q(x)的极大值点,也是最大值点.即qmax(x)=1,又因为当x＞1时,q(x)＞0且当x→+∞时,q(x)→0,当x→0时,q(x)→−∞,所以要使方程有两个不等实根,当且仅当p(x),q(x)有两个不同交点,即2a∈(0,1),即以上三种方法的共同点就是依靠函数图象说话.

4.根据超越方程的特征构造极值点

评析解决过程中,根据超越方程的特征构造零点起到了关键作用,设出g′(x)=0的根x0,不需求出其值,将x0作为求gmin(x)的一个“桥梁”.这说明在解超越方程找极值点时,“设而不求”是一个行之有效的好办法,可以扫清求不出根的障碍.但值得一提的是,要确保零点的存在性.需要单调性和零点存在性定理作为依据.

5.根据不等式的特征构造函数

例5定义在上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)＜f′(x)·tanx成立,当时.则( ).

A.sinx1f(x1)＞sinx2f(x2)

B.sinx1f(x1)＜sinx2f(x2)

C.sinx2f(x1)＜sinx1f(x2)

D.sinx2f(x1)＞sinx1f(x2)

6.根据函数的复杂程度合理构造新函数

例6已知函数f(x)=ex,x∈R.设a＜b.比较的大小,并说明理由.

分析通过作差式,分离出正因式,再合理构造函数.

解设

令g(x)=x+2+(x−2)·ex,x＞0,则

g′(x)的导函数

所以g′(x)在 (0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0. 因此g′(x)＞0,g(x)在 (0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,所以在(0,+∞)上g(x)＞0.由于当x＞0时,g(x)=x+2+(x−2)·ex＞0且a＜b,所以

评析若作差后,直接构造函数,不但未知数有两个,且形式复杂,所以可考虑分离出正因式,选准关键点构造函数,再用导数工具研究函数.这种方法在解决导数综合问题中显得非常重要.

例 7设函数f(x)满足

(1)有极大值,无极小值 (2)有极小值,无极大值

(3)既有极大值又有极小值 (4)既无极大值也无极小值

其中正确命题有______.(写出正确命题的序号)

7.根据数列特征构造函数

评析依据数列特征构造函数的依据是:数列是特殊的函数,所以研究数列的问题,可以转化为研究函数的问题,再还原为数列问题.

总之,构造法是解决导数问题中的重要方法,根据问题的结构特征,灵活构造函数,合理构造零点,适时构造图象,可实现解题目标的达成.在构造过程中,需要基本活动经验的积累,而遇到复杂的函数背景,不做转化,不关注正因式等特征,直接构造函数,将会为解题目标的达成带来一定的困难.因此,必须创造构造函数的最佳机会,比如多元问题首先考虑消元,凑整体,再整体换元,代入消元等方法,以创设构造函数的时机;面对复杂结构问题,可以考虑变形,若出现正因式,可以弃掉正因式,分母恒正弃分母就是这个道理,取出关键部分构造函数,可以减少后续的工作量;面对绝对值函数、无理函数,可以考虑取出绝对值内的部分与根号内的部分构造函数,可以减少求导的复杂程度.通过这些手段,不仅减少解决的难度,而且可以有效促进学生良好的运算素养的形成.