殷开勇
摘 要:在新课程改革不断深入的背景下,现代教育技术(如几何画板、geogebra等)与高中数学教学的结合是一个非常好的改革方向。多年以来的教学实践已经证明,将现代教育技术整合到高中数学教学,对于教学质量和教学成果起到了显著的提升效果。
关键词:现代教育技术;高中数学教学;整合研究
中图分类号:G633.6文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2020)05-056-2
一、教学过程
1.创设情境,提出问题
教师:我们通常用函数来描述物体运动变化的规律。接下来我们要学习的导数也是研究解决函数问题的一个重要工具。今天,我们就从平均变化率开始来进行导数的学习吧。(用PPT给出材料)
教师:这是姚明的身高变化曲线图,请同学们读图并思考:在哪个年龄段,他的身高变化是最快的呢?
学生1:从图形上来看,13~16这段图像最陡,所以他的身高变化是最快的。
教师:我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微。如果我们想进一步判断4~13岁,16~22岁这两个年龄段的身高变化快慢,光靠看图还够不够?还有没有什么办法可以进一步地来刻画呢?
学生2:可以用身高的增长量來除以所用的年龄。
4~13岁:1.61-0.813-4=0.09(米/年),13-16:2.12-1.6116-13=0.17(米/年),
16~22岁:2.26-2.1222-16=0.02(米/年),所以在16~22岁这个年龄段身高增长最慢。
教师:很好。通过计算,我们可以看出13~16这个年龄段他的身高增长确实是最快的。在16~22这个年龄段他的身高增长是最慢的。在这个问题中,我们从图像的陡和缓(形)来得到一个直观的判断,然后从数的角度(也就是身高差和年龄差的比值,即身高的年平均变化率)来做了一个进一步的刻画。数形结合的方法往往可以给我们的解题带来很大的方便。
2.过程感知,建构数学
教师:数学来源于生活,又服务于生活。我们在座的同学应该都有过吹气球的经历,在吹气球的过程中,我们发现,随着气球体积的增加,气球半径的增加却越来越慢。那么从数学的角度,如何描述这种现象呢?
教师:我们可以把气球近似地看作一个球体,那么气球的体积V与半径r之间的函数关系是V(r)=43π·r3,反过来,如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)=33V4π。下面,我们就利用这两个函数,借助几何画板,来模拟一次吹气球实验。在这个过程中,我将分3次连续给气球充气。第一次打气10下,第二次再打10下,第3次打5下。在几何画板课件中,我已经编写好了函数,只要我们采集到第一次充气10下之后气球的半径的测量值r1,就可以算出此时的气球体积V1,从而算出V2和V3,然后利用半径关于体积的函数式,由V2求出r2,由V3求出r3,这样我们便可以得出一组吹气球的模拟数据了。
教师:请同学们利用这一组数据,想一想如何描述题中所提出的问题。
学生3:通过计算我发现:r1-r0=0.45,r2-r1=0.12,r3-r2=0.04。随着气球体积的增大,半径的增加越来越小。
学生4:我觉得你的计算方法有点问题,第一次和第二次打气的量是相同的,但是第三次打气的量和前面两次不一样,这样单纯地作差不科学。我计算了体积的变化:V1-V0=0.38,V2-V1=0.38,V3-V2=0.19。然后又计算了V1-V0r1-r0=0.85,V2-V1r2-r1=3.26,V3-V2r3-r2=4.36。但是我感觉好像有点不对。
教师:哪里不对了呢?
学生4:这个比值是递增的,这和题目中气球半径的增加越来越慢好像矛盾了。
学生5:老师,我是把这几个式子的分子分母交换一下计算的:r1-r0V1-V0=1.18,r2-r1V2-V1=0.31,r3-r2V3-V2=0.23。我感觉可以解释这个现象。
教师:很好!那么你是怎么想到要用半径的差值来除以体积的差值的呢?
学生5:因为题目中说的是随着气球体积的增大,半径增加得越来越慢。所以气球的体积V应该是自变量,半径r是函数。所以应该这样列式。
教师:非常好!(展示几何画板隐藏的计算值)
教师:下面我们再从形的角度来观察一下函数r(V)=33V4π的图像变化趋势。(几何画板演示)
3.归纳概括,表征概念
教师:请同学们思考:在上述案例中,1.我们是如何刻画物体的变化率的?2.他们有什么共同之处?(师生讨论、交流)
板书:一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1。
教师:如果我们用Δx来表示x2相对于x1的增量,那么f(x2)相对于f(x1)的增量可以记为Δy。那么,平均变化率也可以表示成f(x2)-f(x1)x2-x1=ΔyΔx=f(x1+Δx)-f(x1)Δx。
教师:请同学们观察平均变化率的表达式,如果我们从几何的角度来看,这和我们之前学过的哪个公式比较接近?
学生6:两点间的斜率公式。(利用PPT展示平均变化率的几何意义,在平均变化率的几何意义得出的过程中,引导学生从式子的结构特征,展开数学联想,培养学生的直观想象能力)。
4.学以致用,小试牛刀
例题1:某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
(学生自主计算,教师巡视,再通过实物投影仪展示学生的答题情况并加以点评。)