液压支架立柱挠度的因次分析与仿真研究

云浩， 张海， 张继业， 徐文苏， 赵武

(1.河南理工大学 机械与动力工程学院,河南 焦作454000；2.郑州煤矿机械集团股份有限公司，郑州450000)

0 引 言

随着液压支架支撑高度的不断增大，对立柱工作可靠性的要求也越来越高。立柱是液压支架的主要承载部件。目前，液压支架的最大支撑高度已经达到8.8 m，立柱内径增大到630 mm。液压支架立柱受到偏心载荷的作用时将发生横向弯曲，而横向挠曲又会对立柱产生附加弯矩，附加弯矩的大小与横向挠曲量和轴向载荷的大小有关。文献[2]中要求“立柱(包括加长段)和支撑千斤顶在偏心力和(或)侧向力作用后，不应出现功能失效，级间过渡处的挠度值应小于试验长度的0.1%”。因此，为了保证立柱安全可靠地工作，需要对立柱受偏载作用下的挠度进行研究。目前关于液压支架立柱的研究有很多，文献[3]～文献[5]对立柱稳定性进行了研究。文献[6]利用Fluent软件对立柱在偏心载荷下的流固耦合过程进行了仿真研究，并对立柱的最大应力、应变及位移进行了讨论。文献[7]对φ 400 mm缸径双伸缩立柱的挠度进行了研究，但未考虑立柱内流固耦合及接触状态的影响。文献[8]对有无流固耦合时，双伸缩立柱中的活柱在中心载荷作用时的位移和应力进行了仿真和比较。文献[9]利用流固耦合仿真技术研究了2倍中心载荷作用时的立柱应力和位移。上述研究主要集中在基于流固耦合的立柱强度分析，而关于偏载条件下立柱挠度的研究很少。

文献[1]给出一种立柱挠度计算的一般方法，但没有涉及到液体初撑力、缸体膨胀、活塞与缸体之间的相对运动等因素的影响。本文联合运用因次分析方法与数值仿真技术，对流固耦合条件下的立柱挠度进行研究，提出了一种立柱挠度计算方法。

1 立柱挠度的因次分析

因次分析又称量纲分析，是基于因次和谐原理对某一物理现象有关各物理量之间的关系进行研究的一种方法，在工程学科的研究中有着广泛的应用。

立柱挠度的大小，主要受到立柱的结构和材料参数、初撑力、液体参数和外载荷等几个方面因素的影响。具体来说，影响立柱挠度的因素主要包括如下7个方面：1）缸体长度L;2）缸体截面模量I;3）缸体材料的弹性模量E;4）液体黏度n ;5）液体密度ρ;6）缸体内部初撑力P;7）外载荷（偏心弯矩）M。

取长度、质量、时间为基本量纲，分别用L、M、T表示，立柱挠度用y表示，其量纲为长度[L]。上述7个影响因素的量纲分别为：1）立柱缸体弹性模量E。量纲—N/m2= kg·m/sm2=kg/(ms2)=ML-1T-2;2）立柱缸体截面模量I。量纲—[I]=L4;3）缸体长度L。量纲—[L]=L;4）液体黏度n。量纲—[n]=N·s/m2=kg·m/s·(s/m2)=MLT-2TL-2=M L-1T-1;5）液体密度ρ。量纲—[ρ]= kg/m3= ML-3;6）初撑力（液体压强）P。量纲—N/m2=kg·m/s/m2=kg/(m·s2)=ML-1T-2;7）弯矩M=1.1倍额定载荷偏心距。量纲—[M]=N·m= kg·m/s·m= ML2T-2。

根据因次分析理论，立柱挠度y与上述7个因素应满足如下关系：

式中：a、b、c、d、e、f、g为待定指数；k为无量纲常数。

将7个因素的量纲代入式（1），得

式（2）两边的对应指数应该相等，故有：

式（3）～式（5）中有7个未知量，而方程只有3个，无法求出唯一解。为此，假设a、b、e、g已知，则可求出其余3个未知量，结果如下：

将式（6）～式（8）代入式（1）中，可得：

或

式（9）和式（10）即为立柱挠度的因次分析式。

为求解出式(10)中的未知量a、b、e、g，对式（10）两边同时取自然对数，得

则式（10）变形为如下的线性方程：

式（12）是一个含有4个变量的线性方程。

本文选择3种不同缸径的双伸缩立柱（φ500 mm、φ250 mm、φ230 mm）进行数值仿真实验，将数值仿真结果代入式（12），并进行多元线性回归分析，从而求解出式（12）中的未知量K、a、b、e、g。

2 有限元仿真及未知量求解

本文采用FEM和SPH联合仿真技术，对双伸缩立柱流固耦合系统在偏载作用下的挠度进行数值仿真研究。其中，FEM用于求解固体域，SPH用于求解流体域。

SPH又称光滑粒子流体动力学，是在近20多年来逐步发展起来的一种无网格方法。该方法将缸体内乳化液用赋予其相同物理量的光滑粒子代替，以解决乳化液与缸体的流固耦合问题。

2.1 立柱有限元模型

双伸缩立柱主要由底缸、中缸、活柱和导向套等主要零部件组成。应按照立柱最大高度求解挠度。图1为双伸缩立柱全部伸出时的有限元三维模型。缸体内液体用SPH光滑粒子代替。三种立柱的主要结构参数如表1所示。

图1 双伸缩立柱有限元模型

表1 三种立柱的主要结构和工作参数

主要部件的材料参数：缸体材料为30CrMnSi，密度7850 kg/m3，弹性模量为207 GPa，泊松比为0.3；导向套材料为42CrMo，密度为7850 kg/m3，弹性模量为207 GPa，泊松比为0.3。

2.2 约束及初始条件

仿真分析时，假设初撑力等于泵压。为了具有一般性，选取φ500 mm立柱的泵压为37.5 MPa，φ230 mm和φ250 mm立柱的泵压为31.5 MPa。

载荷的施加：按照GB25974.2-2010《液压支架立柱技术条件》要求，在立柱顶端施加1.1倍额定工作阻力的偏心载荷，偏心距等于活柱顶端球头半径R的0.3倍。3种立柱的偏心载荷分别为1870、2090、9240 kN，偏心距分别为21.00、23.25、42.00 mm。

为了便于准确施加偏心载荷，在活柱顶部增加了加载块，如图2所示。

图2 偏心载荷的施加方式

约束条件：1）底缸下端球头外表面上的节点施加固定约束，约束6个自由度；2）活柱上端的球头与加载块之间为粘接约束；3）导向套与缸体之间为粘接约束；4）活塞与缸体内壁之间为接触约束，摩擦因数为0.12；5）导向套与活塞杆之间为接触约束，摩擦因数为0.13。

表2 三种立柱各段参数

2.3 仿真结果及未知量求解

应用上述有限元模型，可以求解出立柱各个部位的挠度值。仿真得到的立柱挠度值是初撑力、缸体变形及活塞与缸壁之间的相对运动等因素综合影响后的结果。如果将仿真得到的挠度值作为已知量代入式（12），求解出式中的未知量，则其结果中就包含了初撑力、缸体变形及活塞与缸壁之间的相对运动等因素对立柱挠度的影响情况。

双伸缩立柱是包含流固耦合和接触的复杂变截面系统，但立柱在偏心载荷作用下的弹性变形量和位移量均很小，故可将双伸缩立柱看作多个包含流固耦合的等截面弹性系统的线性组合。在求解双伸缩立柱的整体挠度时，可以将双伸缩立柱按照截面特性分解为多个等截面弹性系统，并分别求解出各个等截面弹性系统的挠度。立柱的总挠度即为各个等截面弹性系统挠度的线性叠加。

文献[1]中，根据立柱结构特征将双伸缩立柱分解为5段分别求解。其中，底缸和中缸的固定段（导向套长度+活塞长度），共两段；底缸、中缸、活柱除了固定段以外的部分，共三段。本文在求解式（12）中的未知量时，不再将重合段分离出来单独求解，而是将立柱分解为底缸段、中缸段、活柱段三段进行求解，如图3所示。

图3 立柱分解示意图

图3中，L1、L2、L3分别称为活柱段、中缸段、底缸段的计算长度。仿真所用三种立柱的计算长度及相关结构参数、材料参数和载荷条件如表2所示。表2中，每一行为一组数据，故表中共有9组数据。

应用前述有限元模型和约束条件、载荷条件，对3种立柱分别进行仿真，求解出每种立柱3个计算长度的挠度值，得到9个挠度数据，如表3所示。将9组数据和9个挠度值代入式（12），进行多元线性回归分析，可求解出K、a、b、e、g如下：K=-19.272，a=-0.029，b=-0.913，e=0.417，g=1.666。

又因为K=lnk，故有：k=eK=4.268×10-9。

将k、a、b、e、g代入式（9），即得到立柱每一个计算长度的挠度计算公式：

式(13)求解出的是每一个计算长度的挠度，式中的L为计算长度。

将k、a、b、e、g代入式（6）～式（8），可求解出另外3个指数：c=0.488，d=-0.834，f=-1.220。

求解出的指数和系数如表4所示。

表4 系数和指数的求解结果

将表4的数值代入式(1)，即得到7个影响因素与立柱挠度之间的关系式：

根据式(14)，可对各个因素对挠度的影响情况进行分析。

由a<0,b<0,f<0可知，弹性模量E、立柱截面模量I和初撑力P越大，立柱挠度越小；由c>0，g>0可知，立柱计算长度L越长，外载荷弯矩M越大，立柱挠度越大。由d<0，e>0可知：液体黏度n越小，密度ρ越大，立柱挠度越大。由于液体参数几乎不发生变化，故其对挠度的影响不予讨论。

为了研究初撑力P对立柱挠度的影响情况，假设其它参数都保持不变，使初撑力由P变化至P′，对应的挠度将变为y′。则P变化前后的挠度之比可由式（14）得到：

同样的，截面模量I、立柱计算长度L、外载荷M对立柱挠度的影响情况，可以用以下关系式加以描述：

以式（15）～式（18）中右侧括号内的比值为横坐标（称为参数比），左侧比值为纵坐标，可绘制出图4。

图4中，当4个参数由小到大变化时，I、P对应的挠度逐渐减小，L、M对应的挠度逐渐增大，且P、M的变化率大于I、L。由此可见，增大立柱初撑力，相当于增大立柱的抗弯刚度。当横坐标均为1.1，即参数增量为10%时，I、P、L、M对应的挠度比分别为0.917、0.890、1.048和1.172。

图4 立柱挠度比与参数比的关系曲线

实际上，上述参数往往是多个参数同时发生变化。为此，可将I、P、L、M等4个参数同时变化为I′、P′、L′、M′时，则由式（14）得

由式（19）可对多个参数同时变化时的立柱挠度进行分析。

假设立柱结构参数一定，将工作阻力和初撑力同时增大10%，代入式（19），得到挠度比为1.043，即立柱挠度仅增大4.3%。而单独增大工作阻力时，立柱挠度的增量是17.2%。故采用较高初撑力有利于减小由于工作阻力大幅度变化引起的立柱挠度变化。

另外，如果I、P、L、M等4个参数同时变化，且均增大10%，代入式(19)，求解出挠度比为1.00。即4个参数同时增大10%，由于各因素之间的耦合作用，立柱挠度并不发生变化。

3 因次分析式有效性检验

3.1 因次分析值与仿真值的比较

为了对式(14)的有效性进行检验，首先用式（14）求解出φ230 mm、φ250 mm、φ500 mm三种立柱的挠度值。然后，选取缸径φ400 mm的双伸缩立柱，并用式（14）求解出挠度值，然后进行仿真计算。缸径φ400 mm双伸缩立柱的结构、材料和载荷参数见表5。φ230 mm、φ250 mm、φ400 mm、φ500 mm等4种双伸缩立柱的挠度仿真值、计算值及其误差见表6。

表5 φ400缸径各段参数

表6 挠度的因次分析值与仿真值比较

由表6可以看出，立柱挠度的因次分析值与仿真值的误差最大只有6%左右，二者吻合很好。故可应用式（14）对立柱挠度进行预估。

3.2 因次分析值与传统计算值的比较

按照文献[1]提供的挠度计算方法，对前述的4种缸径双伸缩立柱的挠度进行了计算。按照要求，双伸缩立柱被分解成5段，分别计算各段挠度。各段的计算长度见表7。应用表7的数据，可分别求解出4种缸径立柱总挠度。

表7 立柱分解为5段时的计算长度

表8为因次分析方法与传统计算方法求解出的挠度值及其误差比较。由表8可以看出，按照传统方法求得的立柱挠度值大于因次分析式计算值。

表8 两种计算方求解出的挠度值比较

3.3 初撑力影响分析

选取初撑力，对式（14）的计算值与仿真值之间的关系加以验证。以φ500 mm 立 柱为例，其它参数保持不变，将初撑力由37.5 MPa改为31.5 MPa，仿真结果与式（15）的计算值如表9所示。

由表9可以看出，当初撑力降低后，按照式（14）求解出的立柱挠度增大了1.24倍。仿真结果得到的挠度比则为1.19倍，二者的误差不到4%。表明式（14）与仿真结果吻合度很好。

表9 初撑力对立柱挠度的影响分析

4 结 论

1)应用因次分析法，建立了液压支架立柱挠度与立柱缸体弹性模量、截面模量、计算长度、缸体内部初撑力、液体黏度、液体密度及偏心弯矩之间的无量纲关系式。

2)采用FEM与SPH联合仿真技术，对4种缸径双伸缩立柱的挠度进行数值仿真。将挠度仿真值作为已知量，通过多元线性回归求解出无量纲关系式中的未知量，得到了如下的立柱挠度计算式：

3) 立柱挠度随初撑力和截面模量的增大而减小，随弯矩和计算长度增大而增大。弯矩M和初撑力P对立柱挠度的影响相对较大，截面模量I计算长度L对立柱挠度的影响相对较小。初撑力、缸径、立柱长度和弯矩等参数变化对立柱挠度的影响，可用如下关系式进行评价：

4）其他参数不变，增大初撑力，有利于减小工作阻力波动对立柱挠度的影响。

本文提出的挠度计算公式具有一般性意义，不仅可用于求解双伸缩立柱的挠度，也可用于单伸缩和三伸缩立柱挠度的计算。为多伸缩立柱的挠度计算提供了一种新的方法。