二、三元函数条件极值方法再议

张东仓

[摘           要]  主要针对目前高等数学教材中普遍存在的多元函数（二元、三元）条件极值问题处理的不够完整进行再次探讨，并结合举例给出佐证。从而解决了二、三元函数带有约束条件时的极值求解问题。

[关    键   词]  二元函数;三元函数;条件极值

[中图分类号]  G712               [文献标志码]  A          [文章编号]  2096-0603（2020）19-0228-02

多元函数条件极值的求解，在多数高等数学教材中均有提及，而且多以二元函数为例来进行阐述，当约束条件比较简单，即容易由隐函数φ（x，y）显化为y=φ（x）时，可将其代入目标函数z=f（x，y）中（代入法），将其转化为一元函数进行极值求解;或者借助构造辅助函数，利用拉格朗日乘数法来进行求解。但是多数教材均未涉及拉格朗日乘数法得到的可能的极值点，到底是否为极值点或者到底为极大值点还是极小值点？文[1]中作者提到一个不错的方法，但是对其中提到的拉格朗日乘数法中的参数的看法，笔者认为不妥。本文主要对此提出自己的看法，另一方面，对文[1]中的方法进行拓展，得到三元函数条件极值的判别方法。

首先，文[1]中提到在求解目标函数为z=xy，约束条件为x+y=1时的极值问题时，解法一（代入法）采用了将约束条件x+y=1变形为y=l-x，即显化，再代入目标函数z=xy中，从而将目标函数转化为z=x（1-x），即一元函数求解极值，此法没有问题。但是，他在利用拉格朗日乘数法得到可能的驻点后，利用二元函数极值存在的充分条件，对函数F（x，y）=xy+λ（x+y-1）进行验证时出错，从而认为解法二错误，理由是该法中的参数λ应该为变量，而不是常数.笔者认为，在得到可能的驻点x=时F（x，y）y-1），它的图象如图1所示。

而该题目是求解图2中目标函数z=xy（曲面）与x+y=1（平面）的交线上的极值，由图1可以看出，函数F（x，x+y-1）在驻点x处确实不取得极值，由此得出目标函数z=xy在约束条件x+y=1下无极值肯定是错误的，因为它们是两个不同的极值求解问题。

其次，文[1]解法二验证中提到参数λ应该为变量，笔者认为不妥。理由一是：文[2]第69页中提到λ为某一常数、文[3]第115页中-λ，可以看出λ为某一常数且与文[4]第117页一致;二是：文[5]中第198页函數L（x，y，u，v）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，v）+βh（x，y，u，v），而不是L（x，y，u，v，α，β）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，）+βh（x，y，u，v），可以看出，文[1]中的拉格朗日乘数λ应该为常数;三是：有的资料显示将拉格朗日乘数均视为变量，其目的还是得到方程组中的约束条件而已，而约束条件一般都是题目中直接给出的，对辅助函数关于拉格朗日乘数求偏导意义不大。

文[1]第58页在推导zxx"的公式时，认为fxy"（x，y）=fyx"（x，y），应注意强调，一般情况下，只有它们在区域D内连续时才认为是相等的。具体见文[6]第231页定理。

对于三元函数w=f（x，y，z），在约束条件φ（x，y，z）=0下的极值问题处理，亦可借助文[1]的思想进行（文[1]针对的是二元函数），即构造辅助函数L（x，y，z）=f（x，y，z）+λφ（x，y，z），对其关于x，y，z求偏导数，并令其等于零结合约束条件，可得

fx'（x，y，z）+λφx'（x，y，z）=0fy'（x，y，z）+λφy'（x，y，z）=0fz'（x，y，z）+λφz'（x，y，z）=0φ（x，y，z）=0（*）联立解出驻点（x0，y0，z0）

为了进一步验证驻点是否为极值点和是极大值点还是极小值点，可结合二元函数取得极值的充要条件.默认φ（x，y，z）=0确定了z是变量x，y的函数，即z=φ（x，y）。为此，进行如下计算：

wx'=fx'（x，y，z）+fz'（x，y，z）·zx'，w'y=fy'（x，y，z）+

fz'（x，y，z）·zy'

wxx"=fxx"（x，y，z）+fxz"（x，y，z）·zx'+[fzx"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）·zx']·zx'+fz'（x，y，z）·zxx"

wyy"=fyy"（x，y，z）+fyz"（x，y，z）·zy'+[fzy"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）·zy']·zy'+fz'（x，y，z）·zyy"

wxy"=fxy"（x，y，z）+fxz"（x，y，z）·zy'+[fzy"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）]·zx'+fz'（x，y，z）·zxy"

这样，可得A=wxx作答即可。

举例：求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。

文[2]在第70页对此题目已经有解答，设长方体的长宽高分别为x，y，z，构造的辅助函数为F（x，y，z）=xyz+λφ（x，y，z），其中φ（x，y，z）=2xy+2yz+2xz-a2且x>0，y>0，z>0利用（*）可得方程组，并解出驻点为（，文[2]对此可能的极值点未作出进一步的确认，只是结合实际问题的情形给出了结论.下面笔者给出详细解答.

首先计算目标函数V=xyz的两个偏导数：Vx'=yz+xyzx'，Vy'=yz+xyzy'，其中由约束条件2xy+2yz+2xz-a2=0可得则有：

尽管二、三元函数条件极值问题的处理方法比较多，但从适合学生理解的程度来说，该方法思路简单，计算量亦比较小，且不容易受题型中约束条件形式上的限制。

参考文献：

[1]刘晓俊.求二元函数条件极值的方法[J].金融教学与研究，1994（3）：57-59.

[2]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M]第四版.高等教育出版社，2004.

[3]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].第六版.高等教育出版社，2008.

[4]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].第七版.高等教育出版社，2014.

[5]陈传璋，金福临，朱学炎，等.复旦大学数学系编数学分析[M].第二版，高等教育出版社，1994.

[6]舒底清，张孝理.高等数学（工科类）[M].高等教育出版社，2018.

◎编辑 张 慧