党江平
(陕西省西安中学,713200)
函数极值点偏移问题是近年来高考的热门考点.在近十年高考中共出现4次,在全国各地的模拟考试中也多次以压轴题的形式出现,很多学生对待此类问题经常是束手无策.笔者从这一类问题的高等数学背景出发,利用泰勒定理对极值点偏移问题进行研究,得到了利用函数三阶导函数判断极值点偏移的结论.期盼在高观点下,深入浅出地理解极值点偏移问题,以期为读者在处理此类问题时,提供更多的思路.
①
由此,我们作出了极值点偏移的判断,并给出如下结论:
结论已知函数y=f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0,且存在三阶导函数,f(x)在(a,b)内存两个零点x1、x2,且x1 若f‴(x)>0,则有极大值点向左偏移,极小值点向右偏移; 若f‴(x)<0,则有极大值点向右偏移,极小值点向左偏移; 若f‴(x)=0,则极值点不偏移. 评注这只是一个充分性(非必要)判定结论,使用时需注意. 例1(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1、x2是函数f(x)的两个零点,证明x1+x2<2. 解(1)略. (2)由(1)知a>0,f′(x)=(x-1)(ex+2a),令f′(x)=0,得x=1.易知f(x)在区间(-∞,1)单调减,在(1,+∞)单调增,故x=1为函数的极小值点,f(1)=-e<0.又因为f(2)=a>0,所以x1<1 当x1≤0时,由于1 综上,x1+x2<2成立,命题得证. 例2(2011年辽宁高考题)已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (1)讨论函数的单调性; (3)若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB的中点横坐标为x0,证明f′(x0)<0. 解(1)、(2)略. 美国数学家哈尔莫斯认为:“问题是数学的心脏”.在平时的学习中,我们不能局限于解决问题,还应当善于发现问题,探究问题的本源及内在规律.这应当比问题的解决更加重要,也应该是我们每一个数学工作者所坚持的.三、处理高考题中的极值点偏移问题应用举例