聚焦圆锥曲线的交汇性问题

刘 娟

(山东省淄博第十一中学，255086)

纵观近几年的高考试题,高考对圆锥曲线的考查,出现一些与其它知识交汇的题目.如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等.下面列举几例,供同学们参考.

一、与圆锥曲线几何性质及平面向量的交汇

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

评注本题求解的关键是能够运用直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理、焦半径公式及向量运算构造等量关系，考查抛物线的几何性质、平面向量知识与弦长公式的综合应用.

二、与不等式及数列的交汇

①

(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)，可得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

设该数列的公差为d,则

三、与立体几何的交汇

例3如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( ).

(A)直线 (B)圆

(C)双曲线 (D)抛物线

解显然,点P到直线C1D1的距离就是点P到点C1的距离,由此,易知点P到C1的距离等于P到BC的距离,由抛物线的定义,应选D.

评注本题是一道以立体几何与解析几何交汇点为背景的综合试题,是非常有特色的创新型的好题.在近年的高考试题中有一类热点问题——以空间图形为背景的轨迹问题,这类问题情景新颖脱俗,构思巧妙,充分体现了“以能力立意命题”、“多考一点怎样想,少考一点怎样算”的命题原则.

四、与三角函数的交汇

(A) 2sin 40° (B) 2cos 40°

五、与函数问题的交汇

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)由P(x,x2),可得

(2)联立直线AP与BQ的方程，得

评注在涉及最值、范围问题时,往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式,创造应用基本不等式的条件;构建函数关系,应用导数研究函数的单调性、极(最)值等.

数学学科的系统性和严谨性决定了数学知识之间深刻的内在联系. 这里的联系,即包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系,又包括各部分知识之间的横向联系.知识的纵横联系必然形成知识网络的交汇,近年来“强调基础、能力立意、在知识网络交汇点处设计试题”已经成为最近几年高考试题的主要特色.因此,我们在复习中,应该关注并研究数学交汇问题的求解,以开拓视野,进一步提升数学的思维能力.