基于数学核心素养的概念教学*——以“抛物线及其标准方程”教学为例

赵天玺

(安徽省界首第一中学，236500)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准(2017年版)》)指出“基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养.”数学是思维的科学,概念是思维的细胞,概念教学是培养学生数学核心素养的重要载体.下面，将北师大版“抛物线及其标准方程”教学设计呈现如下,恳请同行斧正.

一、创设情境,引入概念

情境1生活图片展示

播放PPT让学生欣赏铅球运动轨迹、喷泉、烟花等图片.

设计意图概念教学要讲究背景.本情境通过身边生活实际案例引导学生了解抛物线几何图形的背景,产生抛物线的直观感受.

情境2探究思考

问题1平面直角坐标系中二次函数的图象是抛物线.旋转二次函数的图象,旋转后的抛物线还是二次函数图象吗?抛物线的本质究竟是什么?

设计意图概念教学要讲必要性.将二次函数的图象旋转后得出的抛物线不一定是二次函数的图象.什么才是抛物线的本质？问题的提出引发了学生探索抛物线概念的渴望.

情境3数学抽象

兔子逃跑问题如图1,一只贪吃的兔子为了吃到更肥美的青草,冒险来到这片危机四伏的草原,不过好在这里也有避险的地方：一个是左前方的洞穴,一个是右边的树林.当危险发生时,兔子选择什么样的逃跑路线才能以最快的速度抵达安全地带?本着就近避险的原则,请在草地上作一个边界,使得位于边界一侧的点到树林避险,位于另一侧的点到洞穴避险.

师:这个边界上的点应满足什么条件?

生:到洞穴和树林的距离相等.

师:如果把地面看作一个平面,树林的边界和洞穴可以分别看作什么?这个问题可以转化为一个什么样的数学问题?

生:一条直线和一个点.问题可以转化为在平面内找到定点距离和定直线距离相等的点的轨迹.

师:很棒！要补充说明一下,这个定点是在直线外.

设计意图引导学生用数学的眼光观察身边生活,发现问题.“兔子逃跑问题”来源于动画片,有很强的趣味性,更重要的是它使抛物线概念的生成更加自然,同时也发展了学生的数学抽象和数学建模素养.

二、操作探究,构建概念

师:我们把上述这条定直线叫做l，定点叫做F,请同学们在草稿纸上试着找出一些满足条件的点,看看点的轨迹大致是什么形状.

(几分钟后)

生:很难找.除了F到l垂线段中点外,其他的点只能目测,很难准确地画出来,轨迹大致是一条曲线.

师:为了准确地画出这个轨迹,请拿出我给大家准备的工具(画板、直尺、三角板等)，把直尺固定在画板上当作直线l,把三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘,把细绳(长度与另一直角边相等)的一端固定在顶点A处,另一端固定在画板上钉子(点F)处，用铅笔尖(点M)扣紧绳子,靠住三角板如图2,你有什么发现?

生:点M到点F和直线l的距离相等,M在轨迹上.

师:很好！请同学们将三角板沿着直尺上下滑动,笔尖在画板上描出轨迹的一段.

(学生四人一组,合作操作)

师:当三角板下滑到钉子处,下移不动了,怎么办?

生:把三角板往下翻转,就可以画出下面一段轨迹.

师:真聪明.根据操作过程,轨迹上半部分和下半部分有什么关系?

生:关于过点F和l垂直的直线对称.

设计意图通过合作操作培养学生团结协作意识,在活动探究中发现轨迹的轴对称特征,让学生体验成功的喜悦.

师:很好！同学们画出的轨迹是什么形状?

生:一条向右弯曲的曲线.

师:为了清晰完整地展现轨迹形状,我们用GeoGebra动画展示作图过程,如图3.

设计意图动态演示让学生对轨迹有更加直观、精准的认识,为概念的抽象做好充分的准备.

师:如果将轨迹顺时针旋转90度,像什么曲线?

生:开口向下的抛物线.

师:很好！其实轨迹就是一条开口向右的抛物线.根据抛物线的画法,请同学们给抛物线下个定义.

生:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.

师:运用集合语言，动点M的轨迹还可以表示为{M||MF|=d1},d1是M到定直线l的距离，定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线.

设计意图概念教学要注重生成过程.通过学生合作操作画抛物线,发现其几何特征,抽象概括出抛物线的定义,并用文字语言和集合语言予以表征,提升直观想象和数学抽象素养.

思考1如果直线l经过点F,那么平面内到定点F和定直线l距离相等的点的集合还是抛物线吗?

生:不是,是过点F且与l垂直的直线.

师:很对！因为l过F时,其轨迹不是抛物线,所以定义中一定不能忽略“l不过点F”这个条件.

设计意图思考1的目的是进一步深化对概念的理解,完善概念.

思考2观察图4,你能用数学语言来描述吗?

生:过定点和定直线相切的动圆圆心轨迹是抛物线.

设计意图思考2是在定义生成之后,第一次用抛物线的概念解决问题,目的是再一次在学生脑海中生成集合{M||MF|=d1}的曲线特征,提升直观想象素养.

三、选轴建系,求得方程

问题2根据椭圆标准方程的构建过程,求曲线方程的一般步骤是什么?如何求抛物线方程?

生:1.建系；2.设点；3.列式；4.化简；5.证明(可省略).

师:类比椭圆,如何建立坐标系才能使所得到的抛物线的方程更简单?由于焦点F到准线l的距离为定值,不妨设为p(p>0),亦即KF=p(K为垂足).

生:以曲线的对称轴为坐标轴建立直角坐标系求得的曲线方程简单.因为抛物线关于KF对称,所以直线KF可以作为x轴.

师:不错,关键是y轴怎样确定,即坐标原点O怎样确定？

经过讨论,学生有代表性的建系方案共三种(方案1、方案2、方案3分别对应图5、图6、图7),学生分成三组分别求曲线方程.

设计意图让学生经历建系求曲线方程的过程,用代数语言描述抛物线,提升数学建模和数学运算的素养.教材只给出了一种建系方式,但学生在建系时可能不只一种.三种建系方式都是自然合理的选择,体现了以学生为主体的教学理念.

三组学生得到的抛物线方程分别为:y2=2px-p2(p>0);y2=2px(p>0);y2=2px+p2(p>0).教师用同屏软件将得到的曲线方程投影到一体机大屏幕上.

设计意图信息技术的应用,使不同小组的学生能及时交流推导的结果,提升了课堂教学效率,也是对传统教学模式的一种改进.

师:上述结果是否都对?为什么?你认为哪个最好?

生:都对,因为建立的坐标系不同导致的方程不同,第二个方程最简单,最好.

师:方案2求得的抛物线方程y2=2px(p>0)比较简洁,我们把它叫做抛物线的标准方程.

设计意图概念教学要讲合理性.让学生在比较中体会哪种建系方法得到的方程简单,理解y2=2px(p>0)作为抛物线标准方程的原因,让学生知其然并知其所以然.

设计意图分析标准方程的要素和形式,加深对标准方程的理解和记忆.

问题3类比椭圆的标准方程中不同的参数对应不同形状的椭圆,抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中只有一个参数p,它是如何影响抛物线形状的?

师生交流,最后教师用GeoGebra使p的值从大变小,得到不同形状的抛物线,其开口也从大变小,p=0时轨迹是一条直线,不再是抛物线,如图8.

设计意图利用信息技术了解参数p对抛物线的影响,加深了对解参数p本质的认识,深化对抛物线标准方程的理解.

四、思考交流,深化提升

请同学们思考交流后，填写下表(如图9).

问题4在求椭圆的标准方程时,由于焦点的位置不同,我们得到了不同形式的标准方程那么,对于抛物线的标准方程,除了开口向右的还有哪些不同的形式?请同学们进一步思考交流.

设计意图进一步掌握抛物线的另外三种标准方程,培养类比推理和知识迁移的能力,提升逻辑推理素养.

五、例题解析,巩固概念(略)

六、课堂小结积累经验(略)