巧用数形结合，提高学生的运算能力

余雪芳

【摘要】  随着基础教育课程改革的不断深入，教育越来越关注学生素质的培養，就数学学科而言，更关注学生的数学素养的提高，特别是有关数学核心素养问题。一个人具备了核心素养，必然善于以数学思想和数学方法来思考和解决问题，这已成为当代学生进入社会的必备本领。数学运算是数学核心素养的组成部分，标准中把掌握基本运算能力列为培养学生的能力之首。从学生实际出发，结合教材与课堂，发掘数形结合因素，从提出问题，领会本质，理解算理，解决问题，到提升素养，进行多层次、全方位的帮助学生直观理解数学知识，渗透数形结合的重要数学思想，提升运用图形认识事物能力，感知问题解决方向，使复杂问题简单化，从而培养学生的运算能力，提升学生的数学核心素养。

【关键词】  数形结合 运算能力 理解算理 运算素养

【中图分类号】  G633.6                 【文献标识码】  A     【文章编号】  1992-7711（2020）11-070-02

随着基础教育课程改革的不断深入，教育越来越关注学生素质的培养，就数学学科而言，更关注学生的数学素养的提高，特别是有关数学核心素养问题。一个人具备了核心素养，必然善于以数学思想和数学方法来思考和解决问题，这已成为当代学生进入社会的必备本领。数学是奇妙的，在某种程度上也是艰涩的。初中阶段的数学学习有较大量的运算要求，这个阶段也是培养数学运算能力的黄金时期，有理数的运算、整式的运算、分式的运算、根式的运算和解方程等都和运算有关。每当考试后，经常会听到家长向老师提问：为什么孩子上课都听懂了，作业也会做了，但是考试就不行了？在实际教学中，不少老师抱怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都过不了关”。数学课程标准把培养学生的运算能力作为核心素养目标之一，标准中把掌握基本运算能力列为培养学生的能力之首。因此，利用数形结合的思想方法提高学生的运算能力有着极为重要的意义。

一、利用数形结合，提出问题

数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观，使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。使用“数形结合”的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

数学本是抽象的，而数形结合在问题提出中的应用，能够使复杂的数学问题变得形象化，变得简单;可以帮助学生更好的发现问题解决问题;有利于培养学生良好的解决问题的习惯。

例如运用火柴棒按如图所示的方式，搭x个正方形时，如何计算火柴棒的根数？

思路1：在这些图形中，第一个正方形用4根，每增加一个正方形就增加3根火柴棒，那么搭x个正方形需要火柴棒___根;

思路2：把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的火柴棒的根数，得到的代数式是___;

思路3：第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的，此后每增加一个正方形就增加3根火柴棒，那么搭x个正方形共需火柴棒___根。

从而提出问题：去括号前后，括号里各项的符号有什么变化？把数形结合“带进”课堂，并应用于问题提出中，在教学时鼓励学生大胆猜想，提高学生的运算能力。

二、利用数形结合，领会本质

毕达哥拉斯曾说过：“数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道的”可见分析问题能力的培养显得多么重要。学生在解决数学问题时，常用一个数学思想，数形结合，借助直观，形象图形，使数学实际问题和几何直观图形有机结合，帮助学生更好地理解，领会数学问题本质，寻找正确的解题思路，培养学生几何直观素养.如在学习“两点之间，线段最短”时出现一题“在小河的同一侧有A，B两个村庄，现要在河边修建一座水泵站向两个村庄送水，问水泵站修在哪里到两村庄距离和最短”此问题具有一定的抽象性，当凭学生想象是很难有突破点，可引导学生画出图形，直接观察，思考如何转化点A，B，和水泵点，让三点共线，距离最短。让学生理清问题的关键点——找出A的对称点，渗透数形结合的思想，提高运算能力。

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念：“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物;而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述。

情形一：“以数解形”

例1用一些完全相同的棋子按如图所示的规律拜访，第100个图形有____个棋子

分析：这是一道典型的规律探究题，学生在解答时如果仅关注棋子的变化，解答是比较困难的，但如果将图形的规律问题转化为数的规律问题，根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后带入数值计算即可。

根据第1个图形有5个棋子，第2个图形有11个棋子，第3个图形有17个小圆，∴第n个图形有：5+6（n-1）=6n-1个棋子，第100个图有599个棋子。

情形二：“以形助数”

例2在学习完全平方公式时，学生默写公式及背诵口诀时都比较熟练，但在应用公式时经常认为（a+b）2=a2+b2，究其原因是学生没有真正的理解。如果我们在学习完全平方公式的时候更注重巧用数学结合的方法来突破这个难点，就更直观，更容易记住了。

三、利用数形结合，理解算理

初中数学是比较抽象的一门学科，无论定义，公理;还是法则，定理等知识都是具有一定抽象性。数学概念、性质、公式、法则等是进行数学运算的基础，概念模糊、公式错误、法则，性质等含混不清，都会影响运算的进行和正确性，正确的运算必须建筑在透彻地理解算理的基础上。可见，数形结合思想在运算中的实践，不仅而体会到其中的算理，也展现了数与形的有序结合所产生的“美”与“妙”，更直接地反映出数形思想的结合能引导学生更好地发现与创造，对学生进行了审美观念的渗透、联想思维的检测，培养了学生大胆而严谨的思维，引导学生获取知识、结论、方法的途径及思维过程，教给学生有效的数学思想方法，提高学生的一种认知能力，使学生的解题思路进入一个理性的广阔天地。

在数学教学中，如何运用数形结合，是教師的教学艺术所在。比如解一元一次方程，不仅使得学生能掌握步骤，还要理解每一步的依据。如移项法则是由等量原理导出的。如合并同类项是由乘法分配律导出的，如果借助图形学生就易于领悟其中之间的关系，那么就会加深对合并同类项的理解。例如整式加减中图3-8的长方形由两个小长方形组成，求这个长方形的面积。提问：求这个大长方形的面积有几种方法呢？通过例子中的两部分面积得出8n和5n，将8n和5n拉出来分析，合并同类项：8n+5n=13n，使学生深刻理解运算的算理。

四、利用数形结合，解决问题

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”反映的是利用数形结合研究数学问题，显得直观、方便，而且应用也很广泛。利用数形结合，也能更好地突破重难点。教学的重点与难点是课堂教学的灵魂，如果把握好了教学重点，突破了教学难点，这节课基本就上好了。突破难点的方法有很多，比如演示实验法，动手操作法，数形结合法等，但是根据教学实际，数形结合方法在初中数学的教学中是最经常用到的方法。突破“一元不等式组”难点“找不等式解集的公共部分”，也是巧用数形结合，利用数轴找到解集的公共部分，再把这个公共部分用不等式表示出来。

利用数形结合轻而易举地解决了不等式解集的问题。

五、利用数形结合，提升素养

数学思想方法产生数学知识，而数学知识又蕴藏着数学思想方法，二者相辅相成，密不可分。数学知识与数学思想方法的这种辨证统一性，决定了教师在传授数学知识的同时，必须重视数学思想方法的教学。同时，数学思想方法又是数学的灵魂，是处理数学问题的指导思想和基本策略，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观，从而发展数学，运用数学，这也是现代教学思想与传统教学思想的根本区别。

数形结合能唤起学生的好奇心和求知欲，掌握问题的发展规律，使学生对数学基础知识从感性上升到了理性的层面，最终培养学生良好的数学素养。因此，在教学设计过程中，需要结合具体内容，将教学知识的“明线”与数形结合思想的“暗线”有机结合，将数形结合思想方法用在适当处，使学生对知识、技能、思想的总结融为一体，使得“思想方法有载体，知识技能有灵魂”。

总的来说，在中学的数学课堂教学过程中，教师应该紧密结合数学教学内容，以数学知识为载体，不是为了单纯的运算而运算，巧用数形结合，培养学生的运算能力，把握数学本质从而达到解决问题的目的，这更是学生必备的一种高层次的数学素养。

[ 参  考  文  献 ]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.

[2]张林华.数形结合思想引领下的“向量数乘运算”教学设计.上海中学数学.2012（5）.