初中二次函数蕴含的思维方法

吴小珍

“二次函数”是初中数学的重要组成部分，也是中考的热点和难点。二次函数中蕴含着丰富的思维方法，学生掌握好了这些思维方法就能掌握好二次函数的知识内容，对以后学習有非常重要的作用，它不但能提升学生的思维能力，也能激发学生的潜力。下面，笔者就二次函数中几种常用的思维方法进行简单的探究。

数形结合思维的应用

我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”每个几何图形都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形予以直观地反映和描述，所以数形结合思维也就成为研究数学的重要思维方法之一。

二次函数中“数”“形”并进，让学生做到见“数”识“形”，见“形”而想“数”。

1.1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系。

例：如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，且过点（3，0），下列结论：①abc>0;②a-b+c<0;③2a+b>0;④b2-4ac>0;正确的有（）个？

A.1   B.2   C.3   D.4

解析：由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线对称轴方程得到b=-2a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则可知①是正确;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），则可知②是错误;利用b=-2a可知③错误;根据抛物线与x轴的交点个数可知④正确。故选：B。

1.2通过观察图象，由交点坐标可以直接写出不等式解集。

例：二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象（如图）：当y2>y1时，根据图象写出x的取值范围     。

解析：通过观察图像可知，使得 的 的取值范围是：-2

函数方程思维的应用

方程和方程组是初中阶段比较重要的部分，并且与数学其他板块的关联性也比较强，同时还是解决其他数学问题的工具。解决二次函数问题常常会使用方程和方程组的思维，同样求解一元二次方程解时，也可以用到二次函数图象来解决。

2.1求两个函数交点坐标的应用。

例：如图，函数y= 与y=-2x+8的图象交于点A、B.求A、B两点的坐标。

解析：联立函数y= 和y=-2x+8得到关于x，y的方程组，解出方程组即可得到A、B两点的坐标。

由题意得：       ，

解之得：

∴A、B两点坐标分别为A（3，2）、B（1，6）。

2.2求解一元二次方程可以通过观察二次函数图象得到。

例：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x=-1，则方程ax2+bx+c=0的解是（）。

A.x1=-3，x2=1    B.x1=3，x2=1

C.x=-3          D.x=-2

解析：直接利用抛物线的对称性，结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c=0与x轴的一个交点是A（1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案。

∵抛物线y=ax2+bx+c=0与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=-1。

∴抛物线y=ax2+bx+c=0与x轴的另一个交点是（-3，0）

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=-3，x2=1。故选：A。

分类讨论思维的应用

分类讨论思维是数学中重要的思维方法之一，有利于增强学生逻辑思维的条理性、提升思维的缜密性。在二次函数中，分类讨论也是经常用到而且非常重要的一种思维方法。

例：如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与x轴交于另一点C，与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x=-1，顶点是M。

（1）直接写出二次函数的解析式;（2）点P是抛物线上的动点，点D是对称轴上的动点，当以P、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D的坐标。

解析：（1）由题意可解得二次函数的解析式为：y=-2x2-2x+3。

（2）根据图中三种情形图1中，①当D1（-1，0），P1（-2，0）时，有P1B=CD1，P1B∥CD1，所以四边形P1BCD1为平行四边形。②当BC∥D2P2，BC=D2P2时，四边形BCD2P2是平行四边形，设D2（-1，m）则P2（-4，m-3），把P2的坐标代入抛物线得到m-3=-16+8+3，所以m=-2。∴D2（-1，-2）。③当D3P3∥BC，D3P3=BC时，四边形BCD3P3是平行四边形，设D3（-1，n），则P3（2，n+3），把点P3坐标代入抛物线得到n+3=-4-4+3，所以n=-8。∴点D3（-1，-8）。

综上所述点D坐标为（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）。

分类讨论在二次函数中应用非常广泛，比如求面积最值问题;定点加动点构成矩形、菱形等问题中也会有应用。

数学模型思维的应用

数学建模可以为学生提供自主学习的空间，也可以增强学生运用数学知识的意识，有利于激发学生学习数学的兴趣，增强学生的创新意识，提升学生的实践能力。在解决某些实际问题中，我们经常通过建立二次函数模型来解决。

4.1拱桥问题中，可以通过建立二次函数模型来解决。

例：如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加（     ）。

A.1m   B.2m   C.3m   D.6m

解析：如右图建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，则-2=a·22，解得a=- 。∴y=- x2，当y=4.5时，-4.5=- x2，解得，x1=-3，x2=3。

∴此时水面的宽度为：3-（-3）=6，∴6-4=2，即水面的宽度增加2m，故选B。

4.2最大利润问题，可以通过建立二次函数模型来解决。

例：某商场试销一种成本为60元的商品，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=80时，y=40;x=70时，y=50。若该商场销售该商品获得利润为w元，问x取何值时w取得最大值？最大值为多少？

解析：先利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质可得答案.设y=kx+b，将x=80、y=40，x=70、y=50代入，得：        ，

解得：     ，则y=-x+120。

∵w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900。

∴当x=90时，w取得最大值，最大值为900。

当然，二次函数中存在的数学思维方法是非常丰富的。这些思维方法往往不是独立存在，而是互相交叉、互相渗透的。因此，面对二次函数学习，教师除了要掌握必要的知识内容，更要对数学思维方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维方法和操作程序，并对它们进行有针对性的训练，才能够做到有的放矢，游刃有余。

参考文献

[1]邓勇军.浅议数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用[J].数学学习与研究，2016（4）.

[2]谢云兰.例谈数学思想方法的渗透—以“二次函数”教学为例[J].福建中学数学，2013（12）.