运中有智慧 算中有妙法

钱利平

小学数学学科关键能力的培养

学生核心素养的培育应紧紧把握核心素养的内涵，着眼于学生适应终身发展和社会发展的必备品格和关键能力的提升。近一年来，嘉兴市小学数学研究团队以分工合作的方式深入开展了小学数学学科关键能力的研究。在初步厘清学科关键能力内涵的基础上，八个县（市、区）组建了三个研究小组，分别聚焦运算能力、空间想象能力和推理能力的实践研究。2019年12月，本刊联合嘉兴教育学院，组织举办了“小学数学学科关键能力培养”专题研讨活动，围绕小学数学教学中如何培养“运算能力”“空间想象能力”“推理能力”三个方面的主题展开研讨。通过课堂观摩、观点报告、交互研讨等形式，展示嘉兴小学数学研究团队一年多来的初步研究成果，也为广大一线教师搭建了一个交流与对话的平台。本专辑呈现了部分研究课例和研究论文，以期引发广大数学教师的关注和深入研讨。

【摘   要】小学数学课程标准将“运算能力”作为十大核心概念提出，充分体现了培养学生运算能力的重要性。培养学生的运算能力，不仅要培养学生“算”的能力，更要培养学生“运”的能力。具体可围绕“运意识之道、运规则之道、运策略之道”三个步骤展开，力图在教學中体现先“运”后“算”，边“运”边“算”，“算”后再“运”这样的计算教学特色，让“运”贯穿于“算”的全过程，从而提升学生的运算能力。

【关键词】运算能力;意识之道;规则之道;策略之道

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。这两句话实际上刻画了运算能力的三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理。那么，新课标提出8年了，对运算能力而言，现状又是怎样的呢？

为了对学生情况有比较准确的了解，我们对某校83名学生进行了一个小样本调查。

调查材料：请你用自己喜欢的方法算：36×0.25（其中一道前测题）。结果如图1所示。

从前测情况看出：学生的笔算意识相当强，但对运算意义的理解不深刻。正是基于这样的教学现状，我们思考：运算能力作为数学学科独有的关键能力，能否将它拆分为“运”的能力与“算”的能力？“运”是意识、思想、策略，是一种思维活动;“算”是技能、实践、演练，是一种操作活动。要培养学生的运算能力，不仅要培养学生“算”的能力，更要培养学生“运”的能力。因此，教学中要体现先“运”后“算”，边“运”边“算”，“算”后再“运”这样的计算教学特色，让“运”贯穿于“算”的全过程。一个学生如果头脑里“运”清楚，“运”明白了，“算”就是水到渠成的一件事。

一、运意识之道，求算法之简

“意识”是指人的头脑对客观物质世界的反映，也是感觉、思维等各种心理过程的总和。遇到36×0.25，为什么会有36%的学生选择列竖式笔算？说明学生没有求简意识。那么教师该如何运意识之道呢？第一，学生在运算前要有简算的意识，想一想“能简算吗”;第二，学生在运算时要有质疑辨析的意识，思考“我这样算有根据吗”;第三，学生在运算后要有反思检查的意识，自查“算得对吗？算得巧吗”。

（一）能简算吗？——唤醒“简算意识”

在计算教学中，教师往往重视让学生低头算，却忽视了让学生抬头想。因此，在36×0.25的教学中，笔者提问：“不列竖式计算，你还有别的方法吗？”通过呈现学生的四种不同算法，引发学生的思维碰撞（如图2）。

这四种算法的呈现是有视觉冲击的，它明确地告诉学生，一道计算题，可以有不同的简便算法，每种算法只要有根据，就是合理的。因此学生在计算时，潜意识里要有高效运算的“简算意识”。

（二）有根据吗？——发展“依据意识”

合理的算法，需要知道合的是什么理，根据什么样的运算律，运算律又是根据什么样的运算义。对于图2中的四种算法，笔者引发学生思考：“这些算法都有根据吗？”通过对比辨析，学生既感受到算法的多样化，又对算法合理性的本质再次内化，“依据意识”深入人心。

我们来看，生1和生2运用了乘法分配律，生3运用了积的变化规律，生4运用了乘法结合律。学生从“不同的运算定律”中感悟到“运算意义的相同”，即都是36个0.25相加，这是算法背后的“依据”，也是算法的“根”。一旦算理扎根，学生在运算时，只需要对与之相关的运算顺序、运算法则和运算定律进行灵活运用，就能做到有律可依，达到计算过程的“简化”。

（三）算得对吗？算得巧吗？——深化“反思意识”

学生在交流、辨析和比较中，会找到适合自己的最优算法。如在对36×0.25的几种算法的反馈过程中，通过对比笔算方法和学生常见的错误：（4×9）×0.25=9×0.25+4×0.25，引发学生自查：“表示的是36个0.25吗？你喜欢哪种算法？”同时，在对“算得对吗”“算得巧吗”这两个问题的反思觉察中，通过对最优算法的欣赏评价，进一步深化学生“反思检查”的意识。

因此，教师要让学生在计算时，运意识之道。学生在“能简算吗”“有根据吗”“算得对吗？算得巧吗”这样一连串问题的自我设问中，不断地进行自我觉察，自我调整，从而求得算法之简。

二、运规则之道，正算法之理

计算规则一般有两类：一类是法则，根据法则确定运算顺序;一类是定律，根据定律可以打破既定的运算顺序。在计算中，学生往往会出现两类情况：第一类是该依法则计算时却按定律算，表现为“不能简算的乱简算”;第二类是该依定律计算时却按法则算，表现为“能简算的不简算”，这反映出学生对“法则”和“定律”的本质理解不清晰、不到位的问题。那么，如何在教学中运规则之道，正算法之理呢？

（一）认清法则，让算法有根可寻

法则是人们在计算中自然形成的一种计算规则，是小学数学规则的主要表现形式之一，它广泛地存在于数与代数、图形与几何、统计与概率等内容之中。

在教学中，教师应严格要求学生按照相应的定理、定义和法则理解题目，让学生逐渐养成遵守法则的习惯。与此同时，还需要让学生认识到不遵守法则的后果。例如，在加减混合的综合算式计算教学过程中，为了让学生认识到“从左往右”的计算顺序，教师可出示这样的题目：10-7.5+2.5=？，学生可能会给出5和0两种答案，此时教师便可以告诉学生正确答案，让学生清楚地认识到加减混合算式的运算法则，从而逐渐培养学生的规则意识。

（二）厘清定律，让算法有律可依

运算定律是一种模型化知识，是对数的运算过程中基本规律的归纳与总结。然而，在教学实践中我们发现，学生混淆运算定律的情况特别多。例如1.25×2.5×12一题，混淆运算律的情况主要有以下两种（如图3）。

学生只关注到1.25×8以及2.5×4可以凑整，而对算式的结构特征认识模糊。对数据的片面关注导致学生对乘法结合律与乘法分配律混淆不清。那么如何帮助学生厘清定律，对运算律有清晰的认识呢？教师可以结合具体情境展开教学（如图4）。

把2.5变成长方形木板的长，1.25变成长方形木板的宽。一方面，学生更加倾向把1.25×2.5这一块木板的面积当成一个“整体”，有效规避了错误;另一方面，从乘法分配律的结构特征入手，强化学生的结构意识，使学生对运算定律的结构印象深刻。

由此可见，运规则之道，帮助学生厘清法则和定律，有助于培养学生合理选择算法的能力，发展学生思维的灵活性。

三、运策略之道，释算法之义

运算策略水平是鉴别学生运算能力高低的一个敏感因素。运策略之道，一方面可以与现实背景相结合，赋予计算在实际生活中的价值;另一方面可以借助“数形结合”，通过几何直观，使抽象的计算教学变得具体形象。

策略1：与现实背景相结合，以现实模型释算法之义

小学数学中的计算题往往取自生活原型。给运算赋予现实背景，可以让纯粹的计算变得鲜活。比如，在探究《乘法分配律》一课中，笔者在课堂上出示如下情境。

（1）学校购买春装校服，每件上衣50元，每条裤子45元，买这样的30套衣服一共要多少元？（只列式不计算）

（2）在一个长方形花圃里栽郁金香和菊花（如下图），这个花圃占地多少平方米？（只列式不计算）

通过列式，学生出现了两种思路的算式表达——“先求和，再相乘，即（a+b）×c”或“先分別乘，再相加，即a×c+b×c”。从现实背景入手，通过对数学模型的解构，让运算意义或算理的解释与现实问题的解决融合起来，让学生理解算法的“要义”。

策略2：与平面图形相结合，以数形结合释算法之义

华罗庚老师说过，“数形结合百般好，隔离分家万事休”。几何直观是数学课程标准提出的十个核心概念之一，主要是指利用图形描述和分析问题，帮助学生直观地理解数学，研究问题。

例如在教学1.25×2.5×12时，教师可以借助长方形，帮助学生建立正确的表象。如何引导学生正确计算呢？学生想到“1块木板的面积×12”：1.25×2.5×12，一个一个看，显然算起来比较麻烦。这时教师提出可以结合图，使计算更简便。引导学生算大长方形的长×宽：（2.5×4）×（1.25×3）（如图5）;也可以算一行的面积×3：（2.5×4×1.25）×3（如图6）。两种方法都利用了2.5×4可以凑整的数据特征，达到简算的目的。而且这两种算法沟通了“运算意义”和“运算定律”之间的关系，帮助学生理解算理。

那么可不可以算一列的面积×4呢？（1.25×3×2.5）×4，显然这样计算是比较麻烦的。这道题目很有意思，在图形意义的指导下，利用数据的特征，引导学生先思维后计算，从而培养学生良好的计算习惯。由此可见，运策略之道，就是让每一种算法，既能找到生活原型，又能找到图形对应，使每种算法都有理有据。

运中有智慧，算中有妙法。如果把运算中的“运”和“算”放在二维体系中，它们应该是有一定正比关系的，“运”的能力越弱，“算”的方法可能只局限在“对”上;“运”的能力一般，“算”的方法只能求好;“运”的能力越强，则“算”的方法就越巧。在当下计算教学格局重“算”的背景下，我们力图重“运”，培养学生运中求道，以道驭法，这样“道法自然”的计算课，正是我们所追求的！

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王强国.数学“运算能力”的内涵、要求及提升路径[J].中小学教师培训，2018（11）：48-53.

[3]刘燕.基于核心素养的小学生数学运算能力培养的策略[J].现代教育，2019（6）：55-56.

[4]陈泰昌.探寻运算定律背后的意蕴——以“乘法分配律”一课教学为例[J].小学教学参考，2016（4）：17-19.

（上海外国语大学秀洲外国语学校   314000）