实正态过程之多重均方不定积分的正态性

吕 芳，李 恒

(1.洛阳师范学院 数学科学学院， 河南 洛阳 471934；2.洛阳理工学院 经济与管理学院，河南 洛阳 471023)

1 基本概念

定义1[1,2]设{X(t),t∈T}是一个随机过程，如果对于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n维正态随机向量，则称{X(t),t∈T}为正态过程或高斯过程.

将概率空间(Ω,F,P)上具有二阶矩的随机变量的全体记为H.

2 相关定理

定理3[6 ]若二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导，则{X(t),t∈T}均方连续.

引理1[7]设X=(X1,X2,……,Xn)是n维随机向量，X～N(μ,B)，其中μ为均值向量，B为协方差矩阵，则X的特征函数为

由引理1及正态过程的定义易得定理4.

定理4设{X(t),t∈T}为正态过程，均值函数为mX(t),协方差函数为CX(s,t),则{X(t),t∈T}的任意有限维特征函数为：

ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N.

3 主要结论

任意有限维特征函数为：

ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…n,n∈N.

重复使用上述方法，可得多重均方不定积分

为[a,b]上均方连续、均方可导的实正态过程.

协方差函数为

协方差函数为：

协方差函数为

依此类推，令

则{Ym(tm),tm∈[a,b]}(即{H(tm),tm∈[a,b]})的均值函数为:

协方差函数为

由于{H(tm),tm∈[a,b]}为实正态过程，由定理4 知{H(tm),tm∈[a,b]}的任意有限维特征函数为

ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…，n,n∈N.

证毕.