关注高中数学重叠内容，以问题驱动式实施高等数学教学

郭从洲 张冬燕 王耀革 田园

【摘要】高中数学与高等数学部分内容的重叠与脱节，使得大一学生对高等数学的教学内容和重要性产生误解.本文坚持“以学生为中心”的教学理念，以导数的概念教学内容为例题，设计一种问题驱动式的教学模式，在复习高中数学知识的同时，引入高等数学中的同类概念，提升学生对高等数学知识的认识高度.

【关键词】高中数学;高等数学;问题驱动式

我国几十年来的教学改革，不论采用什么样的教学手段和什么样的教学方法，最大的变化就是把“以教师为中心”的课堂转变为“以学生为中心”的课堂.这种转变看似简单，实际操作起来却非常困难.“以学生为中心”的课堂转变不仅仅在高中数学教学中需要思考与改革，在大学数学课堂教学中同样需要思考与改革.

1 高中数学与高等数学内容衔接中存在的问题

在我国新一轮的中学课程改革背景下，高中数学一直将导数、极值、定积分等作为选择性必修内容，并且将这些内容列入了高考考试范围.这不仅有利于与国际中学数学接轨，也有利于学生进入大学以后迅速地投入高等数学内容的学习.高中数学中关于微积分的内容是基于高中生年龄阶段可以认知的能力范围内撰写的，其中缺乏严密的数学极限概念，缺少微积分的基本分析.当然，这基本符合微积分创立和完善的史实，也符合人们正常的认知规律.如果大学的高等数学老师不能够充分认识高中数学关于微积分部分内容学习的上述目的和编写原则，不能够在开课伊始给学生讲解清楚高等数学中函数、极限和连续的分析基础的重要性，那么很容易给大学新生造成一种假象——高等数学仅仅是高中数学的简单重复和个别延伸，课下自学就可以达到考试基本要求.殊不知，高等数学是微积分发展历史的倒叙，是一种完备的、严密的数学知识，更是学生第一次使用严谨、简洁、明晰的数学语言描述自然世界.

很多学生认为，高中学过的知识要略讲，简单介绍一下背景就可以，而高中没学过的知识要详细讲解.表面上看这是高等数学与初等数学衔接的问题，而实质上是学生每天都希望老师讲授新颖的、没见过的知识.为了面对高考，很多学校在高中二年级上学期就已经把高中数学所有的内容讲解完毕，利用一年半甚至更多的时间进行复习和刷题，学生经过漫长的磨炼进入大学，更渴望学习的是新知识、新内容.在课堂教学和作业批改中，经常发现学生不愿意使用高等数学中介绍的简便的、高等的方法解题，更愿意使用初等的方法，很多解题的思路还停留在高中阶段.比如，判断函数在某一点是否存在极值的问题上，学生大都喜欢使用第一充分条件，不愿意使用第二充分条件.

坚持“以学生为中心”的教学改革理念，就是要教师充分了解学生的知识背景和学习过程，在教学过程中对旧的知识简单复习，对新的内容详细讲解，使学生在每节课的学习中都有新的收获和感受，激发学生学习高等数学的欲望和潜能.

2 针对重叠内容的问题驱动教学模式设计

高中数学与高等数学内容重叠既有有利的一面，又有不利的一面.作为大学数学老师，要通过各种教学模式的引入，想方设法将不利的一面化为有利的一面，努力为国家培养合格的人才.本文以我国绝大部分高中数学选修系列2-2（人民教育出版社A版教材）与高等数学（同济大学编著教材）重叠的教学内容之一——导数为例，设计一种以学生为中心的问题驱动式教学模式，希望能够总结出提升学生学习能力的教学经验.

2.1 高中数学关于导数定义的讲解过程

高中数学是通过两个具体例子引入导数定义的：一是气球膨胀率——气球半径增加的速率，二是高台跳水——运动员下降的速率，通过分析、对比归纳出一个关于平均变化率的数学式子：f（x2）-f（x1）x2-x1.然后开始做大量的练习题，计算函数的平均变化率，巩固学生对平均变化率的记忆，使得后面在讲解曲线割线斜率的概念时也比较容易些.当学生熟悉了平均变化率以后，教材中有这样一段话：“从物理角度看（瞬时速度），当时间间隔无限变小时，平均速度v-就无限趋近于瞬时速度，为了表述方便，我们用limΔt→0h（2+Δt）-h（2）Δt=-13.1表示“当t=2，Δt趋近于0时，平均速度v-趋近于确定值-13.1.”这是学生第一次接触到极限的概念和符号，虽然只是一个描述性的定义.最后给出导数的定义是这样描述的：

2.2 高等数学关于导数定义的讲解过程

高等数学也是通过两个具体例子引入导数定义的，一个是平面曲线在固定点处切线的斜率，另一个是物体沿直线运动的瞬时速度.通过对这两个问题的分析、归纳抽象出一个特殊的极限式子：

2.3 高中数学与高等数学关于导数定义的异同

高中数学与高等数学关于导数定义的相同点有三个方面：一是在讲解过程中都是通过两个具体的问题引入的，二是对例题的分析过程中都是通过观察、分析、归纳的合情推理方式总结出数学规律的，三是都抽象形成了一个利用极限表述的数学公式.从问题的引入到概念的形成基本都是一致的.

高中数学与高等数学关于导数定义内容讲解的不同点主要表现在导数定义的描述上.高中数学由于没有学习精确的极限定义，所以通过物理意义和几何直观，用描述性的极限定义给出了导数的概念，是一种定性化的概念;高等数学在学习过精确极限定义的基础上，很自然地把一个特殊代数分式的极限命名为导数，是一种定量化的概念.可见，高中数学是在高中生的认知能力上定性化地定义了导数，而高等数学是在大学新生学习了精确极限概念的基础上定量化地定义了导数.

2.4 问题驱动式的教学模式设计

坚持“以学生为中心”的教学理念，教学过程就不能忽视学生以前的学习基础.基于学生高中学习过导数的概念，我们认为采用问题驱动式的教学模式比较适合本节内容教学.首先，教师需要在教学过程中通过设置不同的问题让学生回忆高中知识，引出高中极限概念，其次，设置不同的问题引导学生复习高等数学中学到的精确极限定义，重新审视高中关于导数的定义，进而引出导数的精确极限定义概念，再次，通过精确极限定义形式，引出导数存在的必要条件和充要条件，最后，总结高中数学和高等数学关于导数概念的异同点.主要教学环节和流程如下：

3 结束语

高中数学与高等数学的衔接问题，除了内容的衔接以外，还涉及学习方法、学习态度、学习目标、学习动力等部分的衔接.这些衔接问题的解决更需要坚持“以学生为中心”的教学理念，在教学过程中逐渐渗透讲解.从教学模式、考核方式、问题引入和历史回顾等方面深入改革，培养新时代大学生自我学习、终生学习的正确学习观.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第七版[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]中学数学课程教材研究开发中心.高中数学选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2015.

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[4]汪小梅， 朱华， 杨志鹏. 浅谈高等数学与初等数学的衔接问题[J]. 科教导刊：电子版， 2016（10）：102-103.

[5]南晓雪. 初等数学与高等数学教学衔接问题的研究[J]. 当代教育实践与教学研究， 2017（02）：176.

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