“两位数乘两位数”笔算教学剖析及重构

刘丹丹

[摘 要]三年级下册的“两位数乘两位数”笔算教学是一项系统的工程，笔算的算理、算法教学要依托直观模型，在有限的课堂时间里聚焦本课重难点进行教学是提高课堂效率的关键。教师可从改编教材例题出发，采用专题式分步骤推进方式进行教学重构，使学生能学在当堂、练在当堂，并拓展于课外。

[关键词]两位数乘两位数;算理;算法;先分后合;数形结合

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）05-0027-03

笔者研究了几个不同版本的“两位数乘两位数”笔算教学课例，发现一个普遍现象是课上算法多样，但能当堂掌握算法并正确计算的学生却很少。尤其是公开课、观摩课上，教师预设满满，恨不得把一切都装进学生脑子里，但呈现太多的算法挤占了学生当堂练习的时间，反倒造成学生似懂非懂，计算时容易出错。这样的课堂看似精彩纷呈，但由于学生练习时间不够，后测结果令人担忧。如《小学数学教师》2018年第2期刊载的《主题式学习促进系统化思考——从两节“两位数乘两位数”的研究课辩起》课堂实录中，蒋徐巍老师提问：“我想问一下王老师，您觉得按照今天这样的学习进程，学生的达成情况怎么样？”王瑾老师回答：“如果从会算两位数乘两位數这样一个知识层面来说的话，我统计了45位学生的作业，第一题有7～8位学生没有掌握。”也就是说，第一题的错误率达16%～18%。这是正常现象吗？笔者的同事教学了同一内容后进行后测，发现学生的错误率高达24%。笔者也进行了同一内容的教学，在后测中发现有21%的错误率。

难道尽力展现算法的多样化就会影响学生计算的正确率吗？不进位的笔算两位数乘法有如此高的错误率是一种正常现象吗？能否通过改进教学环节让课堂更高效？带着这样的思考，笔者进行了如下研究和教学重构。

一、聚焦问题分析与思考

许多教师教学“两位数乘两位数”时都觉得时间不够用，教学时间到底去哪了？笔者反复研究课例发现，教师依据例题展现算法多样化的环节占用了半节课的时间，而讲解本课教学重难点——笔算算理和算法的时间不足，更没有足够的时间让学生进行当堂练习。

人教版教材三年级下册“两位数乘两位数”的例题选用了14×12。编者的意图很明显，12既可以看成2×6或3×4，也可以看成10+2，同时可以把另一个因数看成几乘几或几十加几。如14×12=14×2×6，14×12=14×3×4，14×12=14×（10+2），14×12=14×（6+6），14×12=（10+4）×12，等等。从表面上看，教师引导学生把新知转变为旧知来解决问题，以学生为主体，关注了学生学习的最近发展区，而且尽可能地展现了算法的多样化，即既可以用乘法结合律将算式转化为一位数乘多位数来计算，如14×12=14×2×6，也可以根据乘法分配律来计算，如14×12=14×（10+2）=14×10+14×2（虽然还没学到乘法结合律、分配律，但学生可以结合实例领悟），为学生后续学习乘法结合律、分配律积累了数学活动经验。但这样教学实际却是把大量的时间花在算法多样化的探究上，导致没有足够的时间来关注笔算的算理和算法，更没有时间进行当堂巩固练习。这也是学生后测时计算错误率高的原因。笔者认为造成这一现象的原因在于本课设计的知识目标重难点不明确——是关注解决问题的算法多样化，还是聚焦“两位数乘两位数”笔算算理算法的教学？从学生心理角度考虑：我已经用自己喜欢的连乘方法算对了，如14×12=14×2×6，为什么还要学别的方法？故而有些学生会满足于自己的算法而消极被动听课，这样缺少内心需求的学习是没有动力的，是低效的。笔者认为，如果一定要让学生探索算法的多样化，完全可以在他们掌握笔算的算理和算法后进行。

基于以上分析，笔者对“两位数乘两位数”的教学目标进行了重新定位。一是过程性目标切口要小，引导学生利用点子图、方块图，通过数形结合理解算理，经历探究笔算方法的过程。二是结果性目标要分步骤实施：理解算理、掌握算法、知道竖式写法，并能正确验算。在学完“两位数乘两位数”之后，再以专题式分步骤推进目标提升。如学完面积后，可结合面积知识用数形结合思想进一步加深对算理的理解，沟通知识间的联系。三是情感态度明确，考虑到三年级学生上课注意力易分散、持续时间短等特点，设计小目标推进学习，逐步深化理解。拓展方面，可在学完本单元内容之后引导学生了解两位数乘两位数的数学史，鼓励学生自主学习，并通过延后作业，如“假期说题”等让学生把学习收获与同学交流分享，提升综合能力。

二、专题式分步骤推进与实施

（一） 改编例题，突出笔算乘法算理算法目标教学

基于上述思考，笔者把人教版教材“两位数乘两位数”的例1进行了如下改编：

【活动一】每套书有12本，王老师买了13套。一共买了多少本？

师：谁能解决这个问题？能说说道理吗？

生1：12×13。每套有12本，13套就是13个12本，用乘法计算。

师：对，这就是我们今天要研究的内容——两位数乘两位数。你们会计算吗？

生2：我先算10套，有12×10=120（本），再算3套，有12×3=36（本），因此一共买了120+36=156（本）。

生3：我把1套的12本看成10本和2本，买13套就是买13个10本和13个2本。10×13=130（本），2×13=26（本），所以一共买了130+26=156（本）。

师：两种思路的计算结果一致，都是“先分后合”计算，为什么都分出了整十数来乘？（生：计算简便）你们能通过把新知转化成旧知来解决问题，真棒！

改编后的例题直接指向用乘法分配律来解决问题，解决了原先因要展现太多算法而造成的笔算算理算法教学时间不足和理解思路上的冲突（乘法分配律和结合律两种不同思路），为教学笔算重难点争取了宝贵的时间。此外，教师的引导渗透了优化思想，为高效课堂做了铺垫。

（二）数形结合，加深笔算乘法算理算法理解

【活动二】把计算的方法和道理在图上表示出来。

1.如果1个点代表1本书，请把你的想法在点子图（如图1）上表示出来。（学生尝试，方法一和方法二分别如图2、图3所示）

方法一：12×10=120（本）

12×3=36（本）

120+36=156（本）

方法二：10×13=130（本）

2×13=26（本）

130+26=156（本）

师：我们可以用1个点表示1本书，也可以用1个方块表示1本书。如果1个方块代表1本书，10个方块为1列，那么12本书（1套）就是1列加2个方块。（教师出示如图4所示的两张直观图，分别是10套和3套）

2.你能用竖式计算这道题吗？（教师将方块与竖式对应，引导学生回顾多位数乘一位数的笔算方法）

方法一：把13套分成10套和3套，3套就是3个12本，即12×3，利用笔算一位数乘多位数的方法计算即可;10套就是10个12本，教师利用数形结合讲解笔算过程与写法（如图4），强调12×10的积在竖式里表示时，个位的0可以不写。

师：完成笔算后，我们可以用另一种方法（方法二）来验算。

方法二：笔算乘法时，先把零散的方块算出来。13套包含13个2本，即26本，再算整列方块即13个10本，有130本，最后把两部分加起来（如圖5）。

具体笔算时，要对照竖式明确：先用12个位上的2去乘13，得26个一，即26，所以26末位上的6应与个位对齐;再用12十位上的1去乘13，得13个十，即130，个位上的0可以省略不写，所以13末位上的3应与十位对齐;最后把两次乘得的积相加。

3.比较两个竖式的异同点，说说自己的发现。

相同点：笔算时都从个位乘起，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，乘得的积的末位与个位对齐;再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，乘得的积省去个位上的0后，末位与十位对齐;最后把两次乘得的积相加。都是先分后合，积不变。

不同点及发现：两个竖式因数的位置相反，但积不变。可以用这个方法来验算乘法。

4.笔算练习。（略）

通过点子图，学生能顺利把前面两种不同的算法清楚地展现出来（如图2、图3），但对于列竖式计算，点子图帮助不大，学生大都还是用口算的方法来计算的。因此，笔者运用更直观、能突出十进制和位值制的方块图，数形结合多角度整合，帮助学生理解笔算竖式的算法和算理，加深学生对本课重难点的理解和掌握。

（三）拓展时空，以文化熏陶提升综合素质

1.练习与整合。

人教版教材中有道计算鸡蛋个数的练习题（如图6），很有趣，但笔者认为如果调整一下出现的位置会更好。学生刚学习了两位数乘两位数笔算，急需进行练习，巩固算理和算法。如果在学生没有形成笔算技能之前练习此题，从学生学习的角度看，增加了学生理解的难度，而且无法充分发挥练习题数形结合的价值。而在学完本单元，即掌握了笔算技能之后再来练习本题，学生就会自然地发现：原来笔算的每一步都能在鸡蛋图上找到相应的部分，数与形结合真有趣！

此外，在学完面积之后出示更抽象的面积与笔算两位数乘两位数对应的练习，能让学生惊叹于数形结合的精妙。

如图7所示，是一个长45厘米、宽26厘米的大长方形。大长方形面积=45×26，对应竖式指出，每一步是求图中哪个长方形的面积？

总之，笔算的每一步都能在长方形上找到对应的面积部分。数形结合使乘法笔算算理与面积模型深度交融，沟通了数的运算与几何图形间的联系，使学生感受到数学各领域的知识是相互联系的。

2.阅读与分享。

数学是人类文化的重要组成部分，在计算教学中渗透数学文化能更好提高学生数学素养。如：“你知道古代人是怎样计算乘法的吗？在数学的发展史上，笔算乘法也走过了不平凡的道路。明朝有一种叫‘铺地锦的算法（如图8），你能在图中找到两个乘数（13，12）和它们的乘积（156）吗？”

学完本单元后，笔者给学生分发阅读资料，让学生进行阅读并分享。利用延后作业 “假期说题”，学生充当小主播讲解，由家长协助拍摄微视频，上传到班级QQ群中进行交流分享。如，有一位学生这样介绍“铺地锦”算法：“大家好！我是数学小主播，今天我给大家介绍一种古代计算两位数乘两位数的格子计算法，也叫‘铺地锦算法。上面是13×12的计算过程。看到方格上面是13，右面是12，乘得的每一步都写在格子里。从右下方开始算起，二三得六，在个位写6……最后斜着加起来（个位为6，十位为5，百位为1），合起来就是156。你们知道用‘铺地锦计算乘法了吗？画出格子自己试一试计算24×21吧！”

同时，笔者还让学生了解系列数学文化史知识，如算筹法、古印度竖式、划线法等，借助“假期说题”微视频分享，把课内知识与课外知识相结合，促进学生理解“两位数乘两位数”的内涵，知道知识的来龙去脉，在丰富知识面的同时感受数学文化的魅力，培养了学生的兴趣，提升了学生的综合素养。

总之，这样系统地重构“两位数乘两位数”笔算教学，取得了令人满意的教学效果。小学数学教学课时有限，“两位数乘两位数” 笔算教学一般安排7至8个课时完成，包括不进位乘法、进位乘法和解决问题教学。我们采用专题式小目标分步骤推进，兼顾了小学三年级学生的心理特点和接受能力，在学习的不同阶段系统地整合笔算乘法内容，有利于加深学生对知识内涵的理解。其实三年级学生乘法计算能力的提高，是一个长期的过程。笔者对三年级学生的一次期末测试情况进行分析，发现错误率达36%，其中有18%是加法进位出错，13%是乘法口诀出错，5%是抄错或格式错误。因此，要提高学生的计算能力，就要根据班级学生的具体情况，进行针对性训练与计算品质培养，同时还要注意与学生专注力等身心发展相协调。

“两位数乘两位数”是学生进一步学习数的运算的一个环节，也是日常生活必需的一种基本技能。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，应当注重发展学生的运算能力。计算教学是发展学生运算能力的重要载体，教师在实际教学中应充分发挥计算教学独特的育人价值，使培育学生数学核心素养落到实处。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王瑾.经历有过程的探究  感受有系统的学习——“两位数乘两位数的笔算（不进位）”教学新实践[J].小学数学教师，2018（2）：27-31.

[2] 蒋徐巍，潘小福，陈洪杰，等.主题式学习促进系统化思考——从两节“两位数乘两位数”的研究课辩起[J].小学数学教师，2018（2）：35-39.

[3] 冷满红. 始于“深度理解” 行于“温故知新”[J].小学数学教师，2018（5）： 22.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

（责编 吴美玲）