把握度量本质 拓展分数意义

赵彬杉　黄慧章

[摘 要]量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。分数是在分物、度量和计算中产生的。在教学分数的意义时，教师不仅要从均分的角度帮助学生理解分数的意义，还要从度量的角度加深学生对分数意义的理解，分数的度量可以理解为分数单位的累加。因此，教师在教学中要创设度量情境，开展度量操作活动，让学生经历度量的过程，从度量的角度感悟分数的丰富内涵，拓展学生对分数意义的理解，体会度量的价值，发展学生的度量意识。

[关键词]分数;度量;本质;意义

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）05-0015-03

史宁中教授指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。”教师如何基于度量的本质去解读教材？如何设计教学活动，让学生经历单位的产生过程、单位的累加过程，形成单位的观念，并以此为标准学会估计，形成符号意识和数感，积累度量活动的经验？

一、理论学习中理解度量的意义

昂利·彭加勒在《科学与方法》中指出：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”可见，度量在数学中有着重要的地位。但什么是度量，如何把握度量本质？

1.度量的含义

度就是公度，指的是统一的单位;量就是测量;度量就是用统一的单位去测量。

2.度量的本质

度量的本质是指度量的对象包含多少个单位。例如长度的度量就是指度量对象包含多少个长度单位;分数的度量就是指这个分数包含多少个分数单位。

3.度量的类型

度量分为抽象度量和具象度量。抽象度量是用计数单位（通过抽象得到的度量单位）去计数（数数），着力于数感的培养。具象度量是用计量单位（工具）测量，着力于量感的培养。

二、教材解读中把握分数的本质

张丹教授指出：“对于分数意义的理解应关注两个维度（比和数）和四个具体方面（比率、度量、运作和商）。它们相辅相成，共同承担着学生对分数意义丰富性认识的建构。”这四个方面中最容易被忽略的就是度量。分数的度量可以理解为分数单位的累加，但教师大多关注的是分数单位的定义以及分辨一个分数的分数单位是多少，忽略了分数单位的价值和度量意义。

不少版本的教材在介绍分数的产生和意义时，安排的都是“分物”情境。人教版教材虽然编排了一个“度量”情境，但是并没有解决“剩余绳子不足一节时应如何表示”的问题，仍然是从分物开始探究分数的意义。因此，教师在教学分数意义时，基本都是从平均分的角度入手，忽略了度量角度。

北师大版教材的“分数的再认识（二）”則从度量的角度进一步阐明分数的意义，为教学提供了鲜活的情境。教材以四个问题串来呈现：问题1是让学生用附页中的规定长度纸条量数学书的长和宽，宽刚好是3个纸条，而长是4个纸条多一些，不能正好量完，该怎么办？问题2是让学生继续用这个纸条想办法量剩余部分，要正好量完，并用分数表示度量结果;问题3是让学生发现分数墙的特点，认识分数单位;问题4是揭示分数单位的概念。

我对教材的理解：一是创设度量情境，感受分数单位的产生是实际测量的需要;二是开展实际度量，创造分数单位，深化分数的意义;三是借助分数墙的直观模型，理解分数单位的意义和价值。

三、实际度量中拓展分数的意义

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“学生学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索和合作交流等，都是数学学习的重要方式。”因此，教师应给予学生充分的探索和操作活动，让学生在实际度量中感受分数单位的产生和累加过程，从度量角度拓展分数的意义。

1.动手测量，感受分数单位产生的必要性

著名儿童心理学家皮亚杰曾说过：“智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发学生的好奇心和求知欲，产生学习的内驱力。”因此，教师要设计操作活动，通过测量激活学生的度量经验，使学生体会分数单位产生的必要性。

[活动一]用附页中的纸条（长6厘米、宽1.5厘米）量一量数学书的长和宽，并记录测量的结果。

首学：独立测量，记录结果。

共学： 汇报结果，引发思考。

学生在测量时，把纸条的长当作“1”去度量，先量宽，1个1、2个1、3个1，3次正好量完;再量长，1个1、2个1、3个1、4个1，不能正好量完。因此数学书的宽正好是3个纸条的长度，长是4个纸条多一些，不能正好量完。

小结：用“1”这个单位可以量出2、3、4……看来整数是可以量出来的。

提问：多出来的部分不能用1个纸条量完，该怎样继续量下去才能正好量完？如何表示这部分的长度呢？

通过测量活动，让学生积累测量的初步经验。在用“1”不能测量时，教师提出的问题能有效激发学生探究知识的欲望，使学生在实际操作中体会到分数单位的产生是实际测量的需要，为进一步从度量的角度认识分数做准备。

2.实际度量，丰富对分数意义的理解

度量的核心要素是度量单位和度量值。因此，从度量角度教学分数，关键是建立“分数单位”和“数出分数单位的个数”。

[活动二]想办法继续用附页中的纸条测量剩余部分，使其正好量完，并表示测量结果。

测量方法：用这个纸条 去度量，

测量结果：剩余部分长[（      ）（      ）]个纸条。

首学：自主尝试，探究方法。

互学：小组交流，说说自己的度量方法、度量过程和度量结果。

群学：全班交流，完善方法。

生1：我把纸条对折一次，发现不能刚好量完;我就再对折一次，量了1次正好量完。因此剩余部分是[14]个纸条长。

共学：师生对话，把握本质。

师：在刚才的度量过程中，把纸条对折一次其实就是把这个纸条平均分成几份？

生2：两份。

师：取其中的1份也就是这个纸条的多少？

生3：[12]。

师：也就是以[12]个纸条作为标准去度量，发现还是不能正好量完，于是再对折一次，也就是把这个纸条平均分成几份？以多少为标准去量？

生4：平均分成4份，以[ 14]个纸条长作为标准去度量。

师：谁再来说说多出的部分为什么是[14]个纸条长？

生5：因为我们把这个纸条对折两次，也就是平均分成了4份去量。

师：请你们用刚才的方法再量一下，注意边量边说你们量的过程和方法。

师：用[14]这个标准，还可以度量出哪些分数？

生6：[24]、[34]、[44]。

师：请说得更详细点，你是如何量出这些分数的？

生6：用[14]作为标准去度量，2个[14]是[24]，3个[14]是[34]，4个[14]就是1。

师：在度量数学书的长的剩余部分的过程中，当用“1”不能度量时，我们要创造更小的单位去度量。

通过以上实际度量活动，让学生体会到当“1”不能测量时，需要更小的单位去度量，于是创造出更小的度量单位，也就是分数单位，并深刻理解了[12]、[14] 这样的分数单位的意义。而教师的“追问”，让学生再次体会单位的作用，通过单位的累加可以得到更多的分数，从而从度量角度拓展了分数新的意义：将给定的长度等分，用其中的一份作为新的长度单位去量物体的长度，如果正好量完，就可用分数表示物体的长度。

3.借助直观，建立分数单位的意义

量感不仅仅是“1个单位”标准，更多的是标准量的累加应用。因此，借助分数墙这一直观模型，让学生在分数墙的制作过程和观察分数墙的活动中，充分体会分数单位的产生和累加过程，深刻认识分数单位的意义和价值，领悟分数可以是以某个分数单位为计数单位进行累加得到的结果，加深学生对分数意义的理解。操作活动不仅仅是动手做，还应该动眼看、动脑思，做到眼、手、脑并用。因此，在这一观察活动中我设计了三个问题，形成一个问题串：

【问题1】当“1”不能正好量完时，我们把1平均分成两份，用其中的[12]作为单位去量，还想到把1平均分成4份，用其中的[14]作为单位去量，把1平均分8份，用其中的[18]作为单位去量……还可以平均分成几份，用什么作为单位去量？

生1：可以把“1”平均分成3份，用[13]作为单位去度量。

生2：还可以用[15]、[16]、[17]……作为单位去量。

出示分数墙的左半边起始部分：

师：由“1”我们可以量出2、3、4等，还可以将1平均分成几份，像[12]、[13]、[14]……这样把“1”平均分成若干份，取其中的1份的分数，数学上称之为“分数单位”。

【问题2】用这些分数单位还可以度量出哪些分数？

生1：我用[13]作为单位去度量，2个[13]是[23]，3个[13]就是1。

生2：我用[14]作为单位去度量，2个[14]是[24]，3个[14]是[34]，4个[14]就是1。

……

师：看来用不同的分数单位可以度量出不同的分数，从而形成分数墙这一直观模型。（动态呈现“分数墙”的形成过程;如图2）

【问题3】观察由分数单位组成的分数墙，有什么特点？你发现了什么？（围绕这一问题展开四学活动）

首学：自主观察，初步认识。

互学：小组交流，丰富认识。

群学：全班交流，完善认识。

生1：我竖着看，分数单位的分母越来越大，分数单位就越来越小。

生2：我横着看，分数单位的分母是几，这一排中（整体“1”）就有几个这样的分数单位。

共学：师生对话，把握本质。

师（小结）：横向观察分数墙发现，把一张纸条平均分成几份，分数单位就是几分之一，“1”中就有几个这样的分数单位;纵向观察分数墙发现，只要把这个整体“1”平均分成不同的份数，还会有无数个分数单位，并且越往下平均分的份数越多，得到的分数单位就越小，也就是说，分母越大，分数单位越小。

师：在认识整数时，我国采用十进制计数单位，用“一”去量，十个一是十，再用“十”去量，十个十是一百，再用“百”去量，十个百是一千……今天我们知道了当用“一”不能度量时，可以将“一”分成更小的单位去度量，如用[12]、[14]、[18]、[116]……这样的分数单位去度量。因此，分数单位是计数单位的一个拓展、一个延伸，它是分数的计数单位。（课件动态呈现累加和分的过程，如图3）

在這一观察操作活动中，教师用课件呈现分数墙的动态形成过程，从而让学生深刻感受分数单位的意义和价值，领悟分数可以是以某个分数单位为计数单位进行累加而得到的结果，加深对分数意义的理解。最后借助直观模型沟通整数计数单位与分数计数单位的联系，帮助学生建构完整的计数单位体系。

四、实践运用中提升度量意识

“量感”是需要在度量实践中培养和发展的。在结课环节，我设计了三道练习题，重在让学生感受任意一个分数都是由分数单位累加而成的，从而体会到“用同一个分数单位，度量次数越少得到的分数就越小，度量次数越多得到的分数就越大;整数、分数、小数都是可以度量出来的”，从而沟通了整数、分数、小数的联系。

华罗庚先生曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”分数是在分物、度量和计算中产生的。对于“分数的再认识（二）”这一课，教师从度量的角度展开教学，让学生经历度量的过程，从度量的角度感悟分数的丰富内涵，促进学生对分数意义的理解，体会度量的价值。

（责编 金 铃）