代益梅
[摘 要]结合杨悦婷老师执教的新世纪北师大教材“路程、时间与速度”一课,再次认识“度量”,聚焦“速度”,从“度量”的视角进行品鉴与解读,解惑两个“为什么”:“为什么核心词是速度,而不是路程与时间”“为什么要聚焦本质,直观感悟层层建构,而不要更多的模型变式操练”,进而提炼“度量速度”的策略——多元比较、直观感悟等。
[关键词]度量速度;模型建构;比较;直观
[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068(2020)05-0020-04
一、从“度量”的视角思考:为什么核心词是“速度”,而不是路程与时间?
1.关于“度量”的再认识
参加了新世纪小学数学“悦读”的主题活动——“度量”后,我深深感受到自己的“才疏学浅”和“孤陋寡闻”。原来,我以为“拿尺子量长度”“拿量杯测容积”“数标准方格量面积”……这些表面操作行为就是度量。而经过密集式的学习,翻阅了一些资料,我重新理解了“悦读”活动中 “度量” 的含義与英文measurement的含义比较一致——指计量长短、容积、轻重等物体属性的统称,以及“度量”的本质在于“表现事物某些指标的顺序”,而且还可以大体分为数量度量(通过抽象得到其度量单位)和工具度量(借助工具得到其度量单位)。更令我惊讶的是“路程、时间与速度”一课归于“工具度量”的内容,竟然也可以从度量的视角来解读和建构这堂课。
2.关于“速度”的再挖掘
为了使学生理解起来更加容易,课程标准和教材编者设立了一个大前提:默认小学阶段的路程模型中,研究的物体运动是直线运动,且初学时暂不考虑路程的方向,把路程作为一个标量而不是矢量(位移);把物体运动速度看作均匀的;把时间视为绝对的,不涉及观察者的角度等。在以上这些大前提下再从度量视角出发:“路程”的本质就是度量物体作直线运动轨迹的长度;“时间”的本质就是度量事件过程的长短和发生的顺序;“速度”的本质就是度量物体运动的快慢。
3.关于教材的再解读
九年前,我在一次成都市数学赛课中参与了 “路程、时间与速度”一课的打磨,贡献了一个“金点子”——借助归纳法(8千米/秒,8千米/分,8千米/时)抽取速度的描述性定义:物体在单位时间内所行驶的路程就是速度。时隔数年,我发现自己当时对这一课的解读实在很浅薄,一味追求“比较两辆车谁跑得快”的方法多元化,简单粗暴地提炼出速度的计算公式后,就借助习题推导出另外两个关于时间和路程的衍生公式,没能直接从“度量”视角来深度解读这一课。
史宁中教授提到:在小学阶段的数学教学中,至少需要考虑两个模型,其中一个就是“路程模型”,既然模型以“路程”来“冠名”,为什么各个版本的教材在编排路程模型的内容时几乎都围绕“速度”这个核心词来切入?再者,在这个“路程(距离)=速度×时间”的乘法模型中,就单纯的物理意义而言,变化的只有“时间”,为什么不抓这个“时间变量”来引入?在研读教材的过程中,我找到了答案。
以新世纪北师大教材第79页“路程、时间与速度”为例,教材首先是结合三个动物竞走的情境,提供颇有意义的三组数据,让学生猜谁走得最快。这里一开始就提问“谁走得最快?”,是紧扣“速度”的本质——“速度度量物体运动的快慢”来设计的,让学生利用多种策略比较快慢的同时初步感知速度的本质,体会竞走运动的快慢与时间和路程有关。
在铺垫之后,紧接着抛出难点问题——竞走路程和时间都不同的情况下,如何比较谁走得快(松鼠和小兔比快慢)?通过求两只动物的“平均速度”来比较快慢,引导学生用除法计算的结果来比较,契合前面提到的路程模型的假设大前提——物体作匀速运动,并得出求速度的公式。
再通过速度的度量单位构成,以及渗透生活中常见的速度,学生进一步体会到速度与路程和时间的关系,更深刻地认识到,路程和时间是可以通过度量工具进行直接度量的;而速度则是间接度量,通过路程和时间这两个物体运动时相匹配的属性的一次度量之后,来度量运动时的快慢。或许正是因为“速度”这个物体运动属性的复杂性、丰富性和关联性,且“时间”这个概念学说不停歇争论的矛盾性,对于“路程模型”的内容,编者均从“速度”切入(图略)。
在查阅教师执教相关内容的教学实录过程中,我从成都市泡桐树小学杨悦婷老师的教学中品出其蕴含“度量”的芳香,下面节选其中二三精彩环节展开论述。
二、从“度量”的视角品鉴与解读:为什么要聚焦本质,直观感悟层层建构,而不要更多的模型变式操练?
在杨老师的课堂中,每个看似“简约”的设计背后都饱含精巧的思维布局。不论是从头到尾的逐层建构模型,还是关键之处的几何直观感悟,从“度量”的角度细细品鉴,她整堂课无时不在贴近“速度”的本质和理解路程模型中三者的关系。
1.于微视频中触摸“速度”的激情
在整堂课的教学中,杨老师均借助信息化手段制作和播放微视频,运用智慧HI-TEACH软件的反馈功能和大数据分析,精准把握学情,逐层建构路程模型。
【片段1】将一段含有6个速度的微视频《你的第一感觉是什么?》作为奖品奖励给全体学生。
师(播放微视频,略):看了这段视频,你的第一感觉是什么?
生1:赛车开得很快。
师:说得很好,用了一个字“快”。
生2:变脸很快,14秒变了28张脸。
师:也说到了一个“快”。请举例让你印象最深刻的东西。
生3:乌龟爬得非常慢,1分钟才爬1米。
师:你们说到的快和慢,其实是什么?
生(齐):速度。
师(揭题):今天我们就一起来学习速度。在生活当中,物体的快慢可以用速度来表示。
解读——微视频:让“速度”亲民,让“度量”入心
在开课环节,一段含有6个速度的微视频《你的第一感觉是什么?》让学生真切感受到生活中处处有“速度”,速度很親民,同时也在捕捉学生发言的关键字“快”和“慢” 中顺势揭题:物体运动的快慢,可以用速度来度量。微视频中的6个速度不仅有快速度,有慢速度,而且每个速度均配了一句话,比如“1小时行驶300千米”“1分钟爬了1米”等,每句话介绍速度时,都出现了跟它相关联的时间单位和路程单位,学生在观看了微视频后就能够初步感知到度量每一个“速度”,都涉及“千米、米”等这些“路程”相关量和“时、分、秒”等时间相关量。这里要特别提出,微视频里还有一个特殊的“变脸速度”——“14秒变28张脸”,严格意义上来讲,这不直接属于理工学意义上的“速度”,可以看作从这个路程模型衍生的“工程问题”,度量的是工效,即工作速度。
同时,信息化技术的应用,激发了学生的学习兴趣,吸引了学生的注意力,让数学学习更亲民,让学生乐于学习数学。
2.于比较中逐层完善路程模型的建构
【片段2】把教材的动物竞走比快慢的主题图,调整为三位老师(杨、彭、陈)比较速度,并请全体学生投票。首先,只出示表格中三位教师所用的时间,请学生比较后给速度快的投票。
师:谁的速度快?①、②、③分别对应杨、彭、陈老师,④是“无”,请投票。(绝大多数学生选④)
师:能说说为什么选择④吗?
生1:因为它们只有分钟,没有多少米,所以我无法判断。
生2:我听懂了生1的发言,上面给出的三位老师的数据只有时间,没有路程,所以并不知道他们走了多少米。
师:学会倾听且能将其转化成自己的语言,很棒。有没有更简洁的说法?
生3:我想说缺少了一个“成分”,那就是路程。
师:如果需要知道“速度”,需要几个“成分”?
生(齐):两个。路程和时间。
师:速度与两个量都有关,它与我们之前说的质量的轻重、距离的长短不一样,要刻画速度的快慢,需要知道相应的路程和时间。
师(出示三位老师相对应的路程信息):现在能判断了吗?
(学生小组合作:6个组用除法计算;1个组用线段图,2个组用简要文字)
师:用得最多的是三个除法算式,请第六组具体说一说。
生4:路程就相当于我们原来学的总数(总量),时间就相当于份数,速度就表示每一份数。
师:那速度就等于什么?
生4:速度就等于路程除以时间。
师:有补充吗?
生5:也就是总数÷份数=每份数。
(生4继续解释三个除法算式中每个数量所表示的意思)
师:第六组发言中有没有值得我们借鉴和学习的地方?
生6:他们化新为旧了,把今天学习的路程变成了之前学的总数,把时间变成了份数,把速度变成了每一份数。
师:非常好,善于倾听和评价。那速度到底是怎么得到的呢?
生(齐):路程÷时间=速度。
师:这里的60、70、80又分别代表了什么?
生7:分别代表他们一分钟走的路程。
(第九组分享他们的比较策略:首先,发现彭老师和陈老师走的路程一样,彭老师用时比陈老师多,通过这两位老师的对比之后淘汰彭老师,就只剩下杨老师和陈老师;然后,通过杨老师走的路程和他所用的时间,计算出杨老师每分钟走70米,通过陈老师所走的路程和他的用时,算出陈老师每分钟走80米;最后,由对比得出陈老师的速度是最快的。)
师:简而言之,路程相同就比时间。时间用得短,说明速度怎么样?再看看杨老师和彭老师所用的时间。
(学生发现杨老师和彭老师用的时间相同;教师引出比较策略:时间相同比路程)
师:好!在比较快慢时,除了利用这样一个关系式直接算速度,我们还可以根据路程相同比时间,时间相同比路程来看快与慢。可是,无论用什么方法,都说明了速度与路程、时间都有关。
【片段3】在深度分享了学生对“速度”的几何直观理解之后,以比较两个10米来引出速度单位的学习。
师:你认为谁的速度快?
生1:我选③,因为它们两个数据都一样。
生2:我选①,因为100÷10和30÷3中,100这个数据表示的路程要大一些。
生3:我选④,因为我不知道甲和乙的单位是不是一样的。
师(出示速度的“主人”):我现在告诉你,甲是博尔特的速度,乙是蜗牛的速度,根据常识,哪个速度快?第一个10米表示什么?第二个呢?
生4:甲快。第一个10米表示每秒跑10米,第二个10米表示每小时爬10米。
师:此10米非彼10米。刚刚没有告诉我们的是什么单位?
生5:时间单位,所以刚刚应该选④。
生6:假如说这个比赛是吃苹果,苹果都一样,那么博尔特每秒吃10个,蜗牛每小时吃10个;如果都吃5小时,博尔特5小时能吃3000多个,蜗牛才吃50个。
师:你的想法特别好。速度的单位仅仅用米、千米这样的路程单位显然不足以表达。速度单位的共同点是什么?
生7:它们都是一个标准的,比如1秒、1分、1时这样的单位时间。
师:这个速度单位里面包含了什么单位?
生(齐):时间单位和路程单位。
师:我们再次印证了速度与路程和时间的紧密关系,所以这个速度的单位是多么特殊啊!
解读——多元对比:没有对比就没有“伤害”,没有对比就没有“模型建构”
为了建构“路程模型”,聚焦模型中的“速度”描述性概念的习得,整堂课从头到尾都在进行大量的、渐进式的、有梯度的“比较”,并总结出灵活实用的“比较策略”。特别突出的是以下几个方面:
(1)挖坑:主题教学探究时,一开始只呈现三位老师的时间信息,就要求学生比較他们的速度。少部分学生掉进了“坑里”,绝大多数学生非常明确,这样的比较缺少“成分”,至少需要两个“成分”,仅有时间是不够的,所以无法比较,不能度量出谁的速度快。
在这里,杨老师的过渡语运用得十分巧妙,且紧扣主题:“速度与两个量都有关,它与我们之前说的质量的轻重、距离的长短不一样,要刻画速度的快慢,需要知道相应的路程和时间。”既密切关联以前学过的度量物体轻重的属性——质量,度量物体长短的属性——长度,又轻松过渡到当堂课速度的学习中——比较速度的两个“成分”。
(2)渐进:杨老师先补充完三位老师分别与时间对应的路程信息,然后开放性设问“谁的速度快?”,并先请小组代表分享最常见的主流方法——用除法算式求速度再比较。 “路程就相当于我们原来学的总数(总量),时间就相当于份数,速度就表示每一份数。”这个发言的学生已经能够把之前学过的“总量=份数×每份量”这个模型套用在路程模型上,并且进行逆运用,而且说理清晰,实在难能可贵。学生在比较中能够“化新为旧”,化归思想的渗透不可小觑。
(3)策略:在师生共同总结出 “速度=路程÷时间”这个模型,并用其比较速度的快慢时,第九组学生以表格中的数据为例,归纳梳理了两条比较策略:路程相同时比较相对应的时间;时间相同时比较相应的路程。杨老师再次渗透速度的本质属性:“无论用什么方法,都说明了速度与路程、时间都有关。”因为速度具有不可直接度量的属性。
(4)悬念:为了引出速度单位,杨老师又以比较甲乙两个10米的速度入手,仍有一部分理智型的学生始终坚持无法比较。当甲乙两个速度的“主人”现身后,一位学生的补充令人拍案叫绝:“假如说这个比赛是吃苹果,苹果都一样,那么博尔特每秒吃10个,蜗牛每小时吃10个;如果都吃5小时,博尔特5小时能吃3000多个,蜗牛才吃50个。”尽管他的表述太“小看”博尔特了——错估成了3000多个,但是他对速度、速度单位的理解,甚至在速度单位间的换算上,有一种惊人的、深入浅出的数学直觉。在学生学习了速度单位、写速度单位、理解速度单位后,杨老师继续引导:“速度单位的共同点是什么?”再次印证了速度与路程和时间的紧密关系。
整堂课的主体合作探究环节在比较中开始,也在比较中结束,尽管“消耗”了“大把时间”,但是时间花得值,路程模型在各种比较中逐渐抽取出来,并深入“人心”。
3.于线段图中凸显几何直观的妙用
【片段4】展示第二组的画线段图方法
师(出示课件):第二组虽然画得不够完整,但是与杨老师的想法不谋而合,大家看了有什么想法?
生1(在白板上勾画橙色线):把每个老师一分钟走的线段移上来作比较,这条线是彭老师的,另一条是陈老师的,中间这个是杨老师的。陈老师在最前面,说明速度最快;彭老师在最末尾,说明速度是最慢的;杨老师在中间,不快不慢。
师:我从生1的发言当中感受到他的方法和别人的不一样,他没有写除法算式,而是直观地比较代表速度的线段。那么这样的一段就是什么?
生(齐):一分钟走的路程。
师:我们借图说话,不仅可以直观地看到一分钟谁走得快与慢,而且再次说明了速度确实与路程和时间都有关。
师:求速度为什么一定要用除法?透过现象看本质,想一想除法的意义。
生2:除法的意义就是把一个数平均分成几份,且每份都相等。
师:以杨老师为例,把280平均分成4份,每一份就是杨老师每一分钟走的路程……
解读——几何直观:让参与速度“度量”的元素可视,打通“速度”的“任督二脉”
在解决“三位老师谁的速度最快?”这个问题上,第二组采用了画线段图的方法化抽象为形象直观。以三位老师的路程作为整体线段,按时间多少平均分为相应的份数,取各条线段中的一份代表各自的速度,再上移重叠比较,线段长的速度就快,反之则慢。这不仅解决了速度的比较问题,学生还在杨老师的追问下沟通了速度与“除法意义”的联系:“求速度为什么要用除法?”再次沟通 “总量÷份数=每份数”的模型与路程模型的关联,在头脑中刻下深深的印象:要度量速度,必须先打通路程与时间这两个任督二脉。
纵观整堂课,没有琐碎的小问题群,只有画龙点睛处的深度追问;没有形而上的面面俱到的大包围,只有直指速度内核的概念及模型建构。这一切的基础,都得益于杨老师团队扎实的教学功底、深厚的理论储备和博大的育人观。
(责编 金 铃)