基于支持度的椭球拟合微机械电子系统加速度计现场标定方法研究

周泉，姚敏立，沈晓卫

(火箭军工程大学，陕西 西安 710025)

0 引言

随着微机械电子系统(MEMS)加速度计的不断发展，越来越多的惯性测量系统开始采用MEMS加速度计作为其主要部件，而MEMS加速度计的性能好坏直接影响着系统测量精度。因此，MEMS加速度计的测试标定已经成为系统投入使用前必不可少的环节。相比于传统的加速度计，MEMS加速度计具有独特的优势，如体积小、质量轻、价格低等优点[1]，但是仍然有一些缺陷，存在其参数会随着系统的使用或者存放时间的推移而变化的问题。最为明显的就是MEMS加速度计的零位漂移，即标定相隔时间越长，加速度计的零漂变化就越明显[2]。未来战场错综复杂，不可能存在大量时间或者使用高精度设备去对需要重新标定的MEMS加速度计进行校正，因此，需要一种不依赖精密仪器、简易高效的现场快速标定方法。

国内外已有很多学者对现场标定方法进行了深入研究。2017年，Nadeau等[3]提出使用静态重力对系统中传感器的加速度计进行现场标定的方法，该方法简单易行，通用性较好，但没有考虑到其他维空间，因此系统在复杂环境中工作时精度起伏较大。2018年，Kesaniemi等[4]提出了超椭圆体的直接最小二乘拟合法。该算法通过在适当的二次约束条件下最小化代数距离进行拟合，详细地介绍了现有椭圆和三维椭球的特定拟合方法，但是其精度并没有太大变化。同年，刘宇等[5]提出了一种基于椭球拟合的微惯性测量单元(MIMU)系统自标定方法，该方法通过多次拟合方式进行总体标定，虽然精度提高了3个数量级，但是用时较长，算法复杂，不适合工程实践。

为了满足现场标定快捷、高效的需求，本文提出一种改进的椭球拟合标定方法，即运用支持度的概念，使标定数据更加精细化，并结合椭球现场标定法实现了现场快速标定。

1 椭球拟合标定原理

在没有误差的理想状态下，MEMS三轴加速度计测量值的矢量和等于其当地的重力加速度常量g.因此，理想相互垂直的三轴加速度计任意旋转多个角度，其测得的数据点集合在直角坐标系中的轨迹是一个标准的圆球面。但是在实际的测量工作过程中，MEMS加速度计会存在零位漂移误差、标度因数误差和交叉耦合误差等问题，在这些误差的影响下，会使标准的理想圆球面产生一些微小的畸形而变成椭球面[6]。针对这些误差特性需要建立数学模型来进行误差补偿[7]：

(1)

式中：G表示加速度计实际输出值组成的矩阵；K表示误差系数组成的矩阵；g0表示加速度计零位漂移组成的矩阵；G0为理想状态下输出值组成的矩阵。

对(1)式中G0取模的平方，可得

‖G0‖2=(G-g0)T(K-1)TK-1(G-g0).

(2)

因为椭球曲面是一种特殊的二次曲面，所以设该曲面方程为

F(ζ,ψ)=ζTψ=

ax2+by2+cy2+2dxy+2exz+

2fyz+2px+2qy+2rz+v=0，

(3)

式中：ζ=[a,b,c,d,e,f,p,q,r,v]T为椭球的曲面参数向量，a、b、c、d、e、f、p、q、r、v为曲面方程的参数变量；ψ=[x2,y2,z2,2xy,2yz,2x,2y,2z,1]为运算组合向量，x2、y2、z2、2xy、2yz、2x、2y、2z为该运算组合向量的参数变量。

椭球体现场标定算法的核心是通过采集大量的数据进行椭球拟合，从而计算出最优的一组椭球参数，使得采集的数据与椭球的中心距离达到最小值[8]。而最佳的拟合椭球曲面F(ζ,ψ)的矢量形式为

(X-X0)TA(X-X0)=1，

(4)

(5)

(6)

式中：X为拟合椭球曲面上的任意点；X0为理想椭球面中心点的坐标；A为拟合后椭球体的参数矩阵，其大小正负与椭球体的半径和其旋转的角度有关[9]。结合误差模型和椭球最佳拟合曲面的矢量公式，可得

(7)

(8)

椭球拟合的基本原则就是使数据到椭球表面的平方和最小，但这个原则不能确保每一个数据组合都在椭球的曲面上，因为数据组合也有可能是在圆锥曲面上，所以需要引进椭球曲面的约束条件，确保曲面为椭球面，这个约束条件是基于最小二乘法的椭球拟合算法获得。

令u=ab+bc+ac-f2-e2-d2，l=a+b+c，若4u-l2>0，则其形成的曲面必为椭球曲面[10]。结合椭球曲面的一般公式和椭球的约束条件，则有

(9)

又可以表示为

(10)

E=

(11)

式中：E为椭球二次曲面k组数据组成的系数矩阵。为通过结合椭球约束条件，把椭球拟合问题转化成为约束条件下求极值问题，先对ETE进行奇异值分解，再计算求解ETE的特征值和特征向量，最后对特征值和特征向量进行反归一化处理，转化成椭球的标准形式，求解出椭球参数矩阵和椭球的几何中心[11]。

2 基于支持度的椭球体法

第1节方法在对MEMS加速度计进行现场标定时，由于现场环境复杂多样，在采集各轴加速度计的输出值时，会采集到存在其他方向较大的加速度计数据值，而传统的椭球拟合算法受其影响较大，拟合后得到的椭球参数向量误差较大，导致标定精度较低[11-12]。

为了解决这个问题，本文创新性地引入支持度的概念，通过定义观测值间的相互支持程度，把数据之间的关系和自身有用性程度量化，根据数据的关系及其有用程度进行数据融合。对于那些误差较大的采集值，经算法计算得到它相应的支持度会很小，支持度小意味着在数据融合时所占比例就会很小，这样就能有效地解决这个问题。实验表明，融合后的观测值较原来观测值精度提升了一倍，证明了经过改进后的算法，提高了椭球拟合的参数向量和校正矩阵的精度。

引入支持度的概念，对于两个观测值φ1和φ2：若φ1和φ2相差较大，则表明这两个观测值的相互支持程度很低，甚至相互背离；若φ1和φ2很接近，则表明这两个观测值相互支持程度较高，定义数据间的这种支持程度为支持度。本文采用分段支持的方法，即把采集的数据点进行分段，每段再采用支持度融合方法。这样就可以充分利用数据之间支持程度的关系去抑制误差较大数据，从而提高精度。将数据组分为n组，每组包含m个数据，则第i组可以表示为

(12)

式中：Hi为第i组数据的支持度矩阵。

(13)

dij=|gi-gj|，i=1,2,3,…,m,j=1,2,3,…,m，

(14)

若i=j，则称其为自支持度，若i≠j，则称其为互支持度。

为解决观测值量纲的影响，方便之后的数据处理，对观测值之间的距离进行标准化，取

j=1,2,3,…,m,i≠j.

(15)

根据高斯误差理论[13-14]，当测量值服从正态分布时，残差落在3倍方差即[-3σ,3σ]区间的概率超过99.7%，落在此区间外的概率只有不到0.3%.因此，若是某个数据与其他数据是近似的，则此数据的残差和应落到这个区间，反之，若某数据与其他数据不近似，则该数据的残差不在这个区间内[15]。对第i行的支持度求均值为

(16)

每行的标准差为σi，则有

(17)

则该行的数据残差为

(18)

现场标定的原则是在保证一定精度的情况下，尽量节省时间。为了高效地进行数据融合来减少融合时间，在数据处理上，尽可能使运算简单，而阶跃型支持度函数比一般支持度函数运算都要简单快捷。如表1所示，阶跃型函数可以节省1倍时间，因此选取阶跃型支持度函数。将支持度函数列出为

(19)

(20)

(21)

式中：rij(1)和rij(2)为一般支持度函数；rij为阶跃型支持度函数。

表1 处理时间统计

根据(21)式可得支持度矩阵为

(22)

根据(22)式可得观测值的总支持度为

(23)

根据支持度的概念，支持度函数的第i行元素是第i个数据与其他数据相近程度的量化值。因此，第i行每个元素的量化值之和即为该数据总的支持度。其值越大，表示该观测值与其他观测值的相似程度就越大；相反，若量化值的和越小，表示该观测值相似程度越差，背离了其他观测值。对第i行的总支持度求均值得：

(24)

用判断函数F(i)对第i行的支持度进行判别：

(25)

式中：μ为调节系数。若F(i)为1则保留该数据，若F(i)为0则去除该数据。通过F(i)判断函数保留的数据重新组成一组数据，进行椭球拟合，其椭球系数为

E=

(26)

3 实验验证

为了验证所提算法的可行性和有效性，本文对实验室自主研发的MEMS加速度计进行标定，其性能指标如表2所示。图1为实验设备图，数据采集软件是使用美国微软公司的Visual Studio 2013集成开发环境，结合美国国家仪器公司的Measurement Studio插件设计的，接口采用串口数据输出的模式。MEMS加速度计的标定具体步骤为：

1)将安装有MEMS加速度计的惯性导航系统缓慢以任意角度转动，尽量使采集的数据点均匀分布在椭球面上。

2)打开MEMS加速度计采集软件，设置20 Hz的采集频率，对MEMS加速度计进行数据采集，再通过串口将采集数据上传到上位机。

3)根据第2节的算法，利用数学计算软件MATLAB对数据进行处理，计算出椭球的误差系数矩阵和零位漂移，对加速度计进行误差补偿。

表2 加速度计的性能指标

图1 MEMS加速度计标定

3.1 椭球拟合实验比较

为了深入分析拟合情况，通过与传统椭球标定法的性能比较，验证本文提出基于支持度的椭球标定法性能的优劣。首先用两种算法对同一组MEMS加速度计采集的数据进行MATLAB软件拟合实验，再建立拟合椭球面图和残差分析图，如图2、图3、图4所示。分析对原观测值的拟合情况，最后通过表3记录标定后的均值及均方差，分析其性能的优劣。

图2 传统椭球标定法

图3 本文的椭球拟合标定法

对比图2和图3可以发现，改进后椭球拟合标定法椭球上的点分布得更加均匀。从表3中可以看出，虽然改进后椭球球面上的点数减少了，但是椭球面上点数的比例却提高了8%左右，说明改进后的算法椭球拟合程度更好。

图4 两种方法残差的比较

表3 点数统计

为了进一步分析拟合稳定程度，对两种方法标定后输出残差进行比较，结果如图4所示。残差的具体计算方法为：连接数据点到椭球几何中心，设这条连接线穿过椭球面的交点为M(xM,yM,zM)，定义数据点P(xP,yP,zP)与M点的距离为椭球拟合残差f(P,M)，则

(27)

分析图4，可以发现改进后椭球拟合标定法的残差要比传统方法波动的幅度小，说明改进后椭球体法拟合的情况要比传统椭球体法更加稳定。

标定误差gv是指加速度计补偿后的输出gx(以x轴为例)与当地加速度计重力值的差值，即

gv=gx-g.

(28)

图5为同一组数据分别采用传统方法和改进方法得出的标定误差曲线，可以看出改进后的方法要比传统方法的精度更高。表4为两种方法得出的标定误差均值及均方差统计结果，可以发现改进后的方法求得的数据更接近理论值，且精度提升了一倍。

3.2 时间累积标定实验比较

由于MEMS加速度计的标定参数会随着时间发生一定的变化，为了分析其参数变化大小程度，需要进行一个时间累积的标定比较实验。首先把惯性导航系统放置在转台上的六面体中，再通过6位置高精度转台标定法对惯性导航系统进行标定，得到其标定参数(见表5)。

图5 两种方法标定误差的比较

表4 两种方法标定误差的均值及均方差统计

表5 前期转台的标定参数

把惯性导航系统放置20 d后，将安装加速度计的各轴分别垂直静置在高精度转台上，通过采集软件采集其重力加速度数据，并上传到上位机中，继而再通过改进后椭球拟合标定法对其进行现场标定，得到其标定参数。标定完成后，用同样方法获得其他各轴的标定参数(见表6)。

采集改进后椭球拟合标定法标定的静态数据后，对MEMS加速度计的标定参数重置，再通过6位置高精度转台标定法对MEMS加速度计进行重新标定，继而获得其各轴标定参数(见表7)。

表6 20 d后本文方法的标定参数

表7 20 d后转台的标定参数

通过MATLAB软件对3组采集的数据进行处理(以x轴为例)，如图6所示。

图6 标定后输出比较

通过表8记录6位置高精度转台标定方法与本文标定方法在标定加速度计时使用的时间，为了时间记录的准确性，将3个加速度计按照1～3的序号进行标号，记录每种方法对这3个加速度计进行标定的时间。

表8 标定时间

综合分析表5、表6、表7和表8，随着时间的推移，加速度计的零位漂移波动较大，标度因数次之，而轴间交叉耦合因数变化最小。通过观察图6，可以清晰看出静置20 d后MEMS加速度计的输出精度明显降低。本文标定的加速度计与20 d后6位置高精度转台标定的加速度计相比，精度虽然有所下降，但是精度下降幅度较小。此外，本文方法标定的时间要比6位置高精度转台标定的时间缩短7倍多。尽管本文方法比高精度转台标定精度略有下降，但是本文方法的标定精度比加速度计原始输出的精度要高得多，并且有着其他方法无法比拟的优势，如在任意环境下皆可进行标定，且标定方法简单可靠。

4 结论

本文主要针对战时或者复杂条件下高精度转台无法对装备进行标定的情况下，创新性地提出一种便捷式现场标定。采取基于支持度的椭球现场标定，既能够完成高精度转台在复杂环境下无法完成的标定任务，又能够满足这些设备的精度要求。通过两组实验证实了其有效性和优越性。主要得到如下结论：

1)通过拟合实验表明，改进后椭球拟合标定法能够解决传统椭球拟合标定法异常值点的问题，其拟合结果较传统方法效果更好，且又能进一步提高标定精度。

2)通过时间累积标定实验看出，本文提出的改进后椭球拟合标定法，既可以继承原传统方法的现场可操作性，又能够解决该方法精度不足的问题。实验表明，其标定精度与高精度转台标定相差不大，完全可以满足设备需要的精度要求。综上所述，改进后椭球拟合标定法的标定时间较短、精度较高，在未来战争中具有一定的价值。