不同法截面子午线椭球衔接的研究及应用

李复才, 姚德新

(1.兰州交通大学 测绘与地理信息学院,甘肃 兰州730070;2.地理国情监测技术应用国家地方联合工程研究中心,甘肃 兰州 730070;3.甘肃省地理国情监测工程实验室,甘肃 兰州 730070)

0 引 言

随着高速铁路长大线路工程日益兴起以及运行速度的不断增高,对线路的工程控制网精度要求也越来越高．在长大线路中,高斯投影[1-2]存在投影变形大、分带频繁和换带计算繁琐等问题,给线路设计与施工带来极大不便．鉴于此,文献[3-6]提出法截面子午线椭球理论,有效减少了分带频繁的问题．但是,该理论对线路的直线性要求比较高,当线路整体的弯曲程度较大,建立一个法截面子午线椭球高斯投影将无法满足高速铁路建设的精度要求,需将线路分成两段或是多段并建立各自的法截面子午线椭球．当两个法截面子午线椭球进行衔接时,由于交点在两个法截面子午线椭球中的法线不一致,导致交点在地球表面具有两个不同的点,使得线路无法衔接．基于这种问题,本文提出交点法线重合的方法来实现线路的衔接,并通过工程实例检验其在长线工程中的优越性和实用性．

1 法截面子午线椭球理论

法截面子午线椭球理论的基本思想是,将基础椭球进行平移、旋转、膨胀之后建立一个新椭球,使线路控制点的均衡中线成为高斯投影后的中央子午线,从而使线路各个控制点的横坐标y值都很小,并且各个控制点相对于新椭球的大地高H也很小,达到长度投影变形最小的条件,最终有效控制长度变形．

1.1 构建法截面子午线椭球

在参考椭球E0上,将过基准点的法截线沿法线方向与椭球E0相切,获得法截面椭圆,以该椭圆的中心为原点O,将椭圆的短轴定位z轴,长轴定位x轴,原点法线方向定位y轴,将椭圆绕z轴旋转一圈,获得法截面子午线椭球．其具体步骤如下[7]:

1) 法截面子午线椭球的参数公式为

(1)

(2)

式中:e12为法截线椭球的第二偏心率的平方;e2为E0椭球的第二偏心率平方;a1为法截线椭球的长半径;a为E0椭球的长半径;B0为E0椭球位置基准点的大地纬度;A为E0椭球的法截线方位角．

2)椭球中心位置公式为

(3)

式中: Δx0、Δy0、Δz0为法截线椭球中心在E0椭球参心空间直角坐标系中的坐标;N0为参考椭球E0基准点的卯酉圈曲率半径．

3)法截面子午线椭球短轴指向l,m,n,具体公式见文献[7]．

1.2 椭球变换法

椭球变换法分为椭球膨胀法、椭球平移法和椭球变形法,主要介绍椭球变形法．椭球变形法是指保持椭球的中心不变,改变新椭球的扁率,使基准点法线方向前后不变,从而达到基准点的经纬度不变而大地高变化Δh的目的．令参考椭球E0通过椭球变形法之后的椭球为E3椭球,其椭球具体参数如下[8-11]:

(4)

aE3=(N0-ΔH0)

(5)

式中:N0为参考椭球E0基准点的卯酉圈曲率半径;ΔH0为参考椭球E0膨胀的距离;BE0为基础椭球基准点的纬度．

1.3 长度投影变形值

投影长度变形主要分为高程归化改正和高斯投影两部分,高程归化改正是指将地面长度投影到参考椭球面上的长度变形,高斯投影变形是指将参考椭球面上的长度归化到高斯平面上的长度变形[12-14]．

1) 高程归化改正ΔSH为

(6)

2) 高斯投影变形ΔSG为

(7)

3) 投影长度变形ΔS为

(8)

式中:h为地面边大地高;S为地面测量平距;Ym为地面边横坐标;Rm为控制点的平均曲率半径．

2 不同法截面子午线椭球的衔接

2.1 线路分段的判断依据

均衡中线是指将测区内的点利用一种算法拟合出一条直线,使测区内的点尽可能地接近于均衡中线．令Pi(xi,yi,hi)为线路CPI控制点,利用最小二乘法来求解线路均衡中线的函数式．

设均衡中线的函数式为

y=cx+b.

(9)

由控制点数据以及均衡中线函数式可以得出误差方程为

vi=cxi+d-yi.

(10)

法方程求解得

(11)

控制点到均衡中线的距离公式为

(12)

根据高速铁路线路控制网的投影长度变形值不大于10 mm/km的要求和高斯投影长度变形ΔSG得横坐标y的最大值为

(13)

因此当控制点到均衡中线的距离小于28.428 km时,线路满足要求,不需要进行分段处理,当部分控制点到均衡中线的距离大于28.428 km时,需对线路进行分段处理．

如图1所示,xoy为基础椭球的高斯投影坐标,LL′为线路的均衡中线,虚线矩形ABCD为符合高速铁路投影长度变形的区域．当线路EHF在矩形区域外时,长度变形将超过10 mm/km,需将线路分成EH和HF两段,并对它们分别进行法截面子午线高斯投影．

图1 线路分段判断示意图

2.2 不同法截面子午线椭球的衔接问题

由于长大线路的弯曲性和复杂性,建立一个法截面子午线椭球进行高斯投影将无法满足线路控制网的长度变形要求,需要将线路分成两段或多段分别建立法截面子午线椭球．如图2所示,将线路分成AB和BC两段,当线路AB和线路BC建立各自的法截面子午线椭球之后,由于交点B在两个法截面子午线椭球中的法线不相同,导致交点B在地表MN将产生两个不同的点A1和A2,导致线路将无法实现无缝衔接．

图2 不同法截面子午线椭球衔接

2.3 不同法截面子午线椭球衔接的解决方案

针对上述问题,将利用交点法线重合的方法进行解决,具体步骤如下:

1) 在基础椭球的椭球面找出点A、B和C,BA成为基础椭球面的法截弧,以交点B的椭球面法线为中心,转动一个方位角A1,使得转动的平面通过法截弧BA,并相切基础椭球,形成第一个法截面椭圆BAF'F,以椭圆短半轴为轴进行旋转,构成第一个法截面子午线椭球．

2) 在基础椭球面找到法截弧BC,以交点B的椭球面法线为中心,转动一个方位角A2,使得转动的平面通过法截弧BC,并相切基础椭球,得到第二个法截面椭圆BCEE',以椭圆的短半轴为轴进行旋转,构成第二个法截面子午线椭球．通过如此构建,将解决交点法线不一致,产生两个地面点而无法完成衔接的问题．

3 实例分析

获取某段高速铁路的CPI控制点数据, 部分控制点的2000国家大地坐标如表1所示．该线路的走向为东西方向,且线路位于L=91.3°-94.6°,B=41.5°-43.1°．下面将CPI控制点数据利用常规法截面子午线椭球高斯投影和交点法线重合法的法截面子午线椭球衔接高斯投影分别进行计算,并对横坐标y值、高程归化改正ΔSH、高斯投影变形ΔSG和投影长度变形ΔS进行比较和探讨如表2所示．

从表2可以看出,通过常规的法截面子午线椭球高斯投影之后,部分控制点的高斯投影横坐标y值过大,高斯投影变形ΔSG过大,导致投影长度变形值ΔS过大,无法满足线路控制网投影长度变形值小于10 mm/km的要求．其中,投影长度变形最大值为46.2738 mm,已经远远超出规范要求．

表2 法截面子午线椭球长度变形

下面利用不同法截面子午线椭球衔接的方法来进行解算和分析,具体步骤如下:

1) 将线路分成两段BA和BC,找出交点B,以线路BC的CPI 1～CPI 55的中心线来建立第一个法截面子午线椭球,椭球的基本参数为:交点B的大地经度L0=93.525°,大地纬度B0=42.899722222°,第一偏心率的平方e2=0.005835351983651,方位角A1=29.369388864205°,长半轴a1=6378128.418132003 m．

2) 以线路BA的CPI 55～CPI 110的中心线来建立第二个法截面子午线椭球,椭球的基本参数为:交点B的大地经度L0=93.525°,大地纬度B0=42.899722222°,方位角A2=78.6433270149936°,长半轴a2=6378102.615275338 m,第一偏心率的平方e2=0.003252543948007．从而求得控制点CPI 1～CPI 110在各自法截面子午线椭球的大地坐标,并对两个椭球分别进行横轴高斯投影,投影结果和长度变形的结果如表3所示．

对比分析表2和表3可得:表3的横坐标y值明显小于表2的横坐标y值,且全部控制点的投影长度变形ΔS都符合规范要求．由此可见,通过交点法线重合法的不同法截面子午线椭球衔接可以降低横坐标y值,减小控制点到中央子午线的距离,达到控制投影长度变形的效果．

表3 不同法截面子午线椭球衔接的长度变形

4 结束语

本文通过研究不同法截面子午线椭球的衔接,提出交点法线重合的方法,并结合工程案例进行分析,得出如下结论:

1) 利用最小二乘法求出均衡中线,在高速铁路长度变形10 mm/km的规范要求下,确定出符合线路长度变形的区间,给判断线路分段处理提供了理论依据．

2) 利用交点法线重合法解决了两个不同法截面子午线椭球交点在地表形成两个不同点的问题,实现线路的无缝衔接,解决了部分控制点不满足10 mm/km的要求,并提高了线路整体长度变形精度．