关于函数与导数问题参数讨论的探究

梁宏晖

[摘  要] 分类讨论参数取值可以简化求解含参函数与导数问题，参数讨论过程中可明确参数影响，确保结论准确. 文章将对分类讨论方法进行剖析，结合实例深入探究参数讨论解题的使用技巧，并开展解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 函数;参数;分类讨论;单调性;极值;最值

■方法综述

函数与导数是高考考查的重点，也是高中数学的重点问题，该类问题中往往含有一些变量或者参数，而变量或参数的取值会影响问题的结果. 在实际解题时常需要采用分类讨论的策略，通过分类讨论来细化问题，降低思维难度，达到化繁为简的目的. 分类讨论的基本原则为不重不漏，即统一分类标准，逐条讨论，确保讨论过程不重复、无缺漏.

实际上函数与导数问题中的分类讨论策略渗透着数学的分类讨论思想，实则就是一种将问题对象按统一标准分类、逐类研究讨论的方法. 按照该思想方法解题时需要按照“设定标准→逐个讨论→整合结论”的思路，即首先结合问题设定统一标准;然后对每一类进行深入讨论，并得出相应的结论;最后对各类别的结论进行整合，得出最终结果.

利用分类讨论方法可以高效解析函数与导数问题中因变量或参数引起的变化，常见的问题类型有含参单调性问题、含参函数极值问题、含参函数最值问题. 探讨函数问题中变量与参数的分类讨论策略，有必要对上述三大型问题进行探究.

■实例探讨

分析单调性，求解函数极值、最值是含参函数与导数问题的常见形式，利用分类讨论求解时除了需要严格遵守分类讨论的思想内涵、使用技巧外，还需要结合问题特点，设问形式，下面具体探究.

1. 函数单调性中的参数讨论

例1：已知函数f（x）=ex-lnx，定义在（0，+∞）上的函数g（x）的导函数g′（x）=（ex-a）（lnx-a），其中a∈R.

（1）试求证f（x）>0;

（2）试求函数g（x）的单调区间.

解析：本题目所涉函数f（x）为一般的组合函数，可确定函数的单调性，进而证明f（x）;函数g（x）中含有参数a，参数的大小与符号会影响到函数的单调区间，解析时需要对参数a进行讨论.

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当00，lnx≤0，所以f（x）=ex-lnx>0;当x>1时，ex>1，■<1，而f′（x）=ex-■>0，所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以当x>1时，始终有f（x）>f（1）=e>0，即f（x）>0，得证.

（2）g（x）的导函数为g′（x）=（ex-a）·（lnx-a），a的大小将影响g′（x）的符号.

如果a≤1，则当x>0时有ex-a>0，由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得lnx-a>0，即x>ea，所以函数g（x）的单调增区间为（ea，+∞），单调递减区间为（0，ea）;

如果a>1，则lna>0，结合（1）问可知f（a）=ea-lna>0，则ea>lna，所以由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）>0可得0ea，而由g′（x）=（ex-a）（lnx-a）<0可解得lna

方法指导：利用分类讨论解析含参函数单调性问题时，需要关注两点：一是要讨论函数的单调区间需要在函数的定义域内，二是分析参数对导函数符号是否有影响，可依据参数对不等式解集的影响进行讨论，解析时合理利用不等式的性质和运算技巧.

2. 函数极值中的参数讨论

例2：已知函数f（x）=-lnx-ax2+x（a≥0），讨论函数f（x）的极值点个数.

解析：f（x）为含参函数，需要讨论参数a对导函数f′（x）的存在、零點的大小和零点两侧的符号的影响.

由原函数可知f′（x）=-■-2ax+1（x>0），整理可得f′（x）=■（x>0，a≥0），当a=0时，f′（x）=■，分析可知x∈（0，1）时，f′（x）<0，f（x）单调递减;x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增;所以当x=1时，f（x）取得极小值.

当a≥■时，Δ≤0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，故此时f（x）不存在极值.

当00，方程f′（x）=0有两个不相等的根，设为x■和x■，可解得x■=■，x■=■. 分析可知当x∈0，■，x∈■，+∞时，f′（x）<0，此时f（x）单调递减;当x∈■，■时，f′（x）>0，此时f（x）单调递增;所以f（x）在x=x■处取得极小值，在x=x■处取得极大值.

综上可知，当a=0时，f（x）有1个极值点;当a≥■时，f（x）没有极值点;当0

方法指导：对于含参函数f（x）求极值问题，需要采用分类讨论的策略，参数讨论可以从如下三点切入：讨论参数是否会影响f′（x）零点的存在;讨论参数是否影响f′（x）零点的大小;讨论参数是否影响f′（x）零点左、右两侧的符号. 另外在研究含参函数极值问题时需要注意可导函数f（x）在点x=x■处取得极值的充要条件，根据条件来展开分析.

3. 函数最值中的参数讨论

例3：一酒企为了扩大生产，现决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，在发酵馆内有一个无盖的长方形的发酵池（图1中的长方形ABCD），其中AD≥AB. 根据现有的生产规模，设定新建的发酵池容积为450m3，深2米. 如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，要求发酵池的总造价不超过65400元，回答下列问题.

（1）试求发酵池边长AD的取值范围;

（2）若建发酵馆时要求发酵池的四周需分别预留两条宽4米和b米（b为常数）的走道，试分析应如何设计发酵池的边长可使发酵馆的占地面积最小.

解析：本题目为应用分析题，需要结合模型来构建相应的解析函数，然后利用函数性质来确定结论，第（2）问可建立关于AD长的面积函数，其中必然含有参数b，求面积的最小值，显然需要对参数b进行讨论.

（1）根据题意可知矩形ABCD的面积为S=■=225m2，设AD长为x，则AB=■，由题意可知x≥■>0，从而可解得x≥15.

设建造发酵池的总费用为f（x），则f（x）=600（x+■）+45000≤65400，可解得9≤x≤25.

综上可知，x的取值为x∈[15，25]，即AD的取值范围为不小于15米，并且不超过25米.

（2）设发酵馆的占地面积为S（x），由（1）问可知S（x）=2bx+■+16b+225，x∈[15，25]，则问题转化为求函数S（x）在定义域[15，25]上的最小值，函数中同时含有参数b，需要对其加以讨论.

由S（x）可得导函数S′（x）=■.

①当b≥4时，S′（x）≥0，则S（x）在区间[15，25]上单调递增，所以当x=15时S（x）取得最小值，即AD=15米时发酵馆的占地面积最小.

②当0

③当b∈■，4时，x∈15，■时，S′（x）<0，则S（x）单调递减;当x∈■，25时，S′（x）>0，则S（x）单调递增. 所以当x=■=■时，S（x）取得最小值，即AD=■米时发酵馆的占地面积最小.

方法指导：对于函数应用型问题，求解的关键有两步：一是建模，二是解析. 上述是关于几何面积的函数问题，第（1）问实则就是函数单调性问题，利用求导来确定函数单调区间，然后确定参数的取值;第（2）问通过建模后问题转化为解析含参函数的最小值，需要讨论参数的取值，而在讨论过程中需要分层推进，第一层求原函数的导函数f′（x），第二层分析参数对方程f′（x）=0的影响;第三层则需要确定参数取值对导函数f′（x）的影响，确定原函数f（x）的单调性，求解最值. 上述思路不仅适用于一般的含参函数与导数问题，同样适用于与生活实际联系紧密的函数应用题.

■解后反思

分类讨论是求解含参函数与导数问题的常用策略，通过合理地讨论参数的取值，可将问题转化为一般的函数与導数问题，在实际教学中提出以下两点建议.

1. 理解思想内涵，方法辨析思考

分类讨论思想是高中阶段需要重点掌握的思想方法，在含参函数问题教学中需首先引导学生理解该思想的具体含义，明晰使用步骤. 实际上该思想就是拆分综合问题的一种技巧，可将复合问题化为众多的小问题. 同时可应采用辨析思考的方式进行教学推进，以含参函数问题为例，教学中应引导学生按照“辨析分类缘由→思考分类依据→思考减少分类”，即首先明确参数对函数的单调性、极值点、最值情形造成的影响，然后结合参数对导函数零点存在性、零点大小的影响等因素来确定分类标准，同时思考是否可以减少分类项，优化解题过程.

2. 总结问题类型，积累解题经验

上述呈现了含参函数的三大常见问题类型，涉及求函数单调性、极值、最值等，从中可知讨论参数的取值将直接影响到解题的效果. 同时对于不同类型问题，参数讨论、思路构建过程存在较大差异，但总体而言均需要经历“求导函数”“确定单调性”两个环节. 因此在实际应用时需要理解问题本质，归纳类型问题的解题步骤，总结参数讨论的注意点，积累问题思路构建的经验. 在实际教学中可以参考上述结合具体实例的方式，引导学生思考，指导分类讨论的方法，帮助学生形成相应的解题策略，提升学生的数学思维.