“认识周长”教学路径的重组*

胡存宏

摘    要    “认识周长”不仅仅是为了让学生知道如何计算周长，更强调的是“认识”。这样的路径重组突出对概念内涵的深度挖掘，指向周长 “封闭” 的本质，在“周”上面做足文章;同时在重组的过程中还对学生最容易产生混淆的地方再度设计，关注图形“大小”与“周长”的辨析，在操作中加深理解，体现知识深度内化的过程。

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“认识周长”是小学阶段“图形与几何”知识板块一个重要的知识节点，也是学生在学习中非常容易产生混淆的地方。作为周长的起始课，有两点不得不引起我们深入的思考：第一，任何数学知识的学习都是循序渐进的，讲究知识的来龙去脉，周长的上位概念来自于长度的认识，这个已有的长度会对周长的认识产生什么样的影响？第二，对学生来讲，生活中涉及到面积的知识，也就是说关于图形的“大小”的印象要远远大于“周长”的认知，教材所呈现的问题情境也多与生活相关，这样势必会给学生带来更多的不明确，如何从复杂的素材中将图形的周长与大小清晰地分离出来，至关重要。

一、教材以及学生认知水平解读

1.关于周长的概念

教材呈现三张形状各异的书签，每张都有很清晰的边线（如图1）。

周长，顾名思义，是指一周的长度，也就是物体表面或者平面图形一周边线的长度。教材中采用“一边操作、一边接受”的学习方式，要求学生“指一指每张书签一周的边线”，并告诉他们“书签一周边线的长就是它的周长”，这样的表述强调了作为物体表面一周边线的长度。

2.关于周长的计算

在认识物体表面的周长以后，教材同时给出一个三角形和一个四边形，然后询问“每个图形的周长各是多少？”

实际上，从教材编者的角度去思考，这道例题应该具有双重含义：首先，什么是平面图形的周长？其次，简单平面图形的周长如何计算？要解释什么是图形的周长，还是需要让学生指着每个图形的一周边线，突出一周边线的长是图形的周长，这仍然是重点，然后再算出每个图形的周长是多少，开展量边长、算周长的活动，得出各个图形的周长，深入体会平面图形周长的本质是边线长度的和。

接下来，教材通过试一试（如图2），小组之间合作，尝试测量一片树叶的周长，以此强调一些特殊图形周长的计算方法，也就是化曲为直。

3.学生的认知水平

为了帮助学生更好地理解知识点，真正探索有利于学习的有效路径，根据知识的结构，这里尝试将知识划分为三个不同的层次：事实性知识、概念性知识以及程序性知识[1]。事实性知识实际上就是基于教材，对教材显性知识的理解，这样的知识是以点状结构存在于学生头脑中;概念性知识则是指向点状知识结构化的处理，形成初步的知识表达;程序性知识这里可以理解为基于概念性知识与事实性知识的综合运用过程，也是所学知识完全内化的一种体现。

二、常规路径及其实施效果

对学生来讲，“周长”其实不仅是“长”更要有“周”，同时，更应该走出面积的“大小”所带来的影响，使他们由混沌走向清晰。

1.常规路径

常规教学依托教材来组织实施。从指出教材中三个书签边线的长到测量三角形、平行四边形边线并计算周长，直至最后利用化曲为直的方法测出树叶的周长，教学过程很顺利，学生学得似乎也很扎实。

2.实施效果

但是，课后一份检测题中两道习题统计的数据引起了我们的思考。

求简单平面图形的周长是本节课的核心知识点，然而根据这一统计数据，我们能说学生已经理解了“周长”了吗？他们的周长知识体系已经建立起来了吗？显然，学生对该知识点的掌握出了问题，所学习的知识没有得到真正的内化。

3.存在问题

（1）知识呈现的结构没有形成

教师对教材编排意图没有领会，只是一味地教教材，三个板块的功能分割太明显，未做结构化统整，学生更不会去主动勾连知识之间的联系，导致最后只知道计算，但是究竟何为周长，怎样去判断周长却含糊不清。

（2）辨析周长的环节没有凸显

常规路径中，学生指出书签的边线之后还应该提供更多的变式练习，这样实际上就是为了解开可能已經固化的“长”与“周长”之间的梗：长不一定是周长，而周长却是一定是长。关键在哪里？就是要看这样的长度有没有形成“周”，如果形成了“周”，那这样的长度就是“周长”;否则，只能是有长而没有“周”。

（3）线面剥离的过程没有强化

认识周长一定会联系到面积，也就是图形的大小。如何明晰？常规路径中没有任何涉及，不得不说这是一个遗憾。如何设计才能够合理？可以由每个人带一条线，任意围成不同的图形，然后用水彩笔涂出围成的图形大小，接下来再比较，原来相同长度的线围成的图形大小是可以不一样的，更重要的是，这里水彩笔涂出的是图形的大小，而我们每一位学生手中的那条线才是图形的周长。在操作中不断强化周长与大小之间的联系与区别，唯有如此，周长是二维平面一周（起点到终点）边线的长度，这一认识才能被学生理解。

三、修改路径及其实施效果

在重组的过程中，着重突出对概念内涵的深度挖掘，对学生最容易产生混淆的地方再度设计，然后选择一个平行班级（班级情况与前一个班级大体类似）实施教学。

1.重组路径

重组路径着重在“长”与“周”之间的关系以及图形“大小”与“周长”的联系上做足文章（如图3）。

2.实施效果

实施之后的效果究竟如何，用同样的习题进行了检测，两题的正确率分别提高到83.7%和79.6%。概念的起始课，学生对概念的理解不断深化才能说明知识的显著内化，也预示着他们已经真正将所学习内容纳入到自己的认知体系中，这是难能可贵的。

3.成功之处

（1）突出了周长的“封闭”本质

对于学生来讲，长度的概念不陌生，不熟知的是“周”，这也是周长是一个“特殊”长度的关键之所在。他们往往会以为只要有长度就会有周长，其实不然。在重组路径的“任务二”中折铁丝的环节，实际上就是针对学生困惑进行的点对点设计，重点突破。学生在操作中能够深切地感受到，原来周长是指的“封闭”图形一周的长度。这样的设计的教学效果显而易见，后测第一题的正确率从68.8%提升到83.7%就是最好的说明。

（2）计算中强调估算的核心作用

数学课程标准明确指出，第一学段学生应该能够估测一些物体的长度[2]，它是学生数据处理能力的一种体现。本节课“任务五”这个环节，估算的背后还是紧扣本节课的核心，为何？承接着上一个问题，也不是告诉你一些数据后就可以直接算出图形周长的，也不是将提供的数据相加就可以得到周长。为此，还得回归本质，必须是图形一周的长度，这里提供了长方形的长，如果只是将两条长相加，何为周长呢？到这里，可以否定第一个答案，接下来，结合长方形长、宽的特点，得出正确的结果理应水到渠成。

（3）周长与面积的辨析跳出同一个图形框框

教学中，教师为了强调图形周长与大小的关联，往往比较在意同一个图形中的挖掘。但是，凡事不能一概而论，让学生从同一个图形中跳出来，在实践中依据不同的图形往往更容易加深知识的理解。学生在不同的图形理解之后再回归到同一个图形中，既降低了所学知识的难度，更加能够促使知识的有序建构，何乐而不为呢？

四、一些建议

1.强调知识与本源的辩证理解

对类似于“周长”这样的概念教学，教学中，更多的还是需要注重对知识本身的挖掘。如何才能做到这一点，就是从学生的视角出发，还原知识本身的来龙去脉，找准知识的源头在哪里，重回起点，带领学生一起回到“长的内涵”以及“周的本质”，抽丝剥茧使得每一个学生茅塞顿开。

2.凸显本质与变式的深度加工

把握本质，是以简驭繁，削枝去叶的过程，更是建构知识的前提。把握了知识的本质，也就能够在万千事实中把握根本，以此才能够更加领会知识本质的多样表现、各种变化，乃至于举一反三。比如，这里的求周长，不仅仅让学生知道如何计算多边形的周长，同时也让学生知道能够化曲为直求出类似于树叶的周长，更重要的是将一根绳子围成不同的图形，讓学生观察、领悟到周长不变，而图形大小不断变化的道理，在变与不变中深化认知。

3.彰显迁移与应用的模拟实践

过程和应用是作为知识本身基于每一位学生个体转化的问题，更是知识在个体中的内化以及重新建构的问题。这样的过程不仅仅是对学习结果的检验更是重要的学习体验。迁移，是知识的扩展与提升，而应用，则是将内化的知识外显化、操作化，是知识活化的一个重要的标志。“任务七”与“任务八”中，实际上就是针对该知识关键点的一个定制化设计，学生运用新知识解决新问题。

参考文献

[1] 李秉德.教学论[M].北京：人民教育出版社，2006.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[责任编辑：陈国庆]