高中数学数形结合的解题技巧与方法

吴德发

【摘要】一直以来，数学都是高中课程中的重点学科，通过数学教学可以对高中生的逻辑思维以及抽象思维进行培养，使其掌握数学思想与方法，这对学生未来的学习以及发展都十分重要.而在数学思想之中，数形结合属于一种重要思想，更是高中生解题的重要法宝.本文旨在对数形结合这种解题技巧以及解题方法加以探究，希望能给广大高中数学教师实际教学提供相应参考.

【关键词】高中数学;数形结合;解题技巧

前言：在高中数学中，数形结合属于一种重要的数学思想，高中生在解决数学问题时，经常会用到数形结合这种思想，其在高中阶段的数学方法当中占据重要地位.一般来说，数形结合是按照问题出现的根本原因，借助数字与图形或者图系方式对问题加以解析.因为数形结合这种方法具有非常强的实用性，学生在解题时经常用到数形结合，因此，数学教师对数形结合这种解题技巧以及方法应该加以重视.

一、一般方程中数形结合的应用

求f（x）-g（x）=0型方程的解的情况，可以化为函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点情况来讨论，这样一来可以将代数上看不清楚的问题化为几何图像问题.

例如，方程ln x=cos x解的个数为.

分析：如图1所示，观察题中等式两边的两个函数y=ln x和y=cos x的图像，由两图像只有1个交点，可得方程ln x=cos x解的个数为1.故填1.

二、不等式中数形结合的运用

例如，已知不等式16-x2+8x-x2>4，求该不等式的解集.

分析：可对原不等式16-x2+8x-x2>4加以变形，这样就可以得到以下形式：16-x2>4-8x-x2，

变形之后获得的不等式等价于原不等式，

之后令y1=16-x2，y2=4-8x-x2，可把上面两个不等式实施二次变形，进而可以得到等式：x2+y21=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）.

通过观察，能够看出上述两式全都为半圆.这样一来，学生可在一个坐标系中把相应图形画出来，如图2所示.

这样便可十分直观地得到两个半圆之间的交集实际上就是所求不等式的解集，即x|0≤x≤4.

再如，假设变量x与y满足下面的约束条件：x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，则函数z=2x+3y+1的最大值是（  ）.

A.11    B.10    C.9    D.8.5

分析：如图3所示，根据题设条件可以画出阴影部分这个可行域.

之后联系图形便可得到，函数z=2x+3y+1在直线x+2y-5=0和x-y-2=0的交点处可取得最大值.

根据x+2y-5=0，x-y-2=0可得x=3，y=1，因此交点坐标为（3，1）.此时z=2×3+3×1+1=10，因此答案为B.

三、解析几何中数形结合的运用

例如，现已知曲线y=1+4-x2与直线y=k（x-2）+4存在相异的两个交点，求k的取值范围.

分析：把曲线y=1+4-x2加以适当变形，这样能得到x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），由此能够知道曲线y=1+4-x2是以定點A（0，1）为圆心，以2为半径的圆，但是题设当中隐含1≤y≤3这个条件，因此是上半圆.（如图4所示）

而直线y=k（x-2）+4是过定点B（2，4）的，当直线y=k（x-2）+4绕着点B按顺时针方向进行旋转时，直线与圆相交的点保持在弧线MT（不包括T点）上即可满足题设要求.

又交点M位于直线y=1上，因此可以得到M的坐标为（-2，1）.

直线BM可以通过点斜式这个计算方法加以求解，kMB=34，而点T到点A的距离和圆的半径是相等的，设直线BT的斜率为k，能够列出等式|1+2k-4|1+k2=2，进而解出k=512.因此，最后可得k512

四、复数问题中数形结合的应用

借助复平面上两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等知识，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越得多.

例如，如果复数z满足z+i+z-i=2，那么|z+i+1|的最小值是（  ）.

A.1    B.2    C.2    D.5

分析：如图5所示，复平面内满足|z+i|+|z-i|=2的点的集合是线段AB，而|z+i+1|表示线段AB上的点到点P（-1，-1）的距离，

由图知|z+i+1|的最小值是1，故选A.

五、最值问题中数形结合的运用

例如，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足AO⊥BO，如图6所示.

（1）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.

（2）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.

解：（1）设△AOB的重心G为（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），又O（0，0），

则x=（x1+x2）[]3，

y=（y1+y2）[]3， ①

∵OA⊥OB，设直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，

∴kOAkOB=-1，

即x1x2+y1y2=0，②

又∵点A，B在抛物线上，有y1=x21，y2=x22，代入②化简得x1x2=-1，

∴y[ZK（]=（y1+y2）3=13（x21+x22）=13[（x1+x2）2-2x1x2]=13×（3x）2+23=3x2+23，[ZK）]

所以，重心G的轨迹方程为y=3x2+23.

（2）S△AOB=12|OA||OB|=12（x21+y21）（x22+y22），

由（1）得S△AOB[ZK（]=12x21+x22+2≥122x21x22+2=122（-1）2+2=12×2=1.[ZK）]

当且仅当x21=x22，即|x1|=|x2|=1时，等式成立.

故△AOB的面积存在最小值，且最小值为1.

再如，如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求yx的最大值.

解析：上述问题直接采用代数的办法不好解决，若将其与曲线问题结合来看，在几何上看yx能够达到清晰简洁的效果，如图7所示，在直角坐标系中，（x-2）2+y2=3是以（2，0）为圆心，3为半径的圆，yx=y-0x-0表示圆上任意一点P（x，y）与原点连线的斜率，当OP与圆相切，∠POQ=60°时，yx取得最大值3.

结 语

综上可知，近年来，伴随课程改革逐渐深入，高中阶段的数学教学变得越发复杂，更加重视培养高中生的发散思维以及创新思维.所以，数学课上，教师需引导高中生对数形结合这种思想加以巧妙运用，以此来使数学问题的解决更加简单灵活，并拓展高中生的解题思路，促使其解题能力和解题效率得到提高.

【参考文献】

[1]吴金华.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用分析[J].数学学习与研究，2018（23）：35.

[2]文林.“数”“形”结合：中学数学作图解题技巧应用实践[J].数学学习与研究，2018（22）：119.

[3]陈文雅.高中数学课堂渗透“数学思想方法”的策略与途径分析[J].数学教学通讯，2018（18）：42-43.