中考热门压轴题之二次函数角的转化与化归

孙宇

【摘要】二次函数是连接初中数学和高中数学的重要桥梁，同时涉及几何与代数的相关知识.二次函数问题在初中阶段基本以几何为主，学生不仅要对基本的代数转化熟练掌握，对几何也要有全面的认知.在二次函数综合题中，角的转化与化归是最重要的考点之一.这种题型是无锡中考压轴题的热门题型，也是重点题型，但是大部分学生不能熟练掌握.本文对二次函数中直角关系的转化与化归、倍角关系的转化、角的和差关系分别进行讨论与研究.

【关键词】二次函数;转化与化归;直角关系;倍角关系;和差关系

一、直角关系的转化与化归

1.理解二次函数中的直角关系

直角关系是二次函数角的转化问题中最基本的题型之一，也是中考中最经典、考查最频繁的考点之一.在平面直角坐标系中，点的坐标表示与直角关系有着天然的联系，最基本的解题方法是“K型”相似，这也是初中几何问题的最重要解题方法之一.基本上，只要出现直角关系，解题思路就大概率是作坐标轴的垂线或平行线，构造“K型”相似，将问题转化为对点坐标的求解.另一种解题方法常用于直角关系存在性问题中——利用“直径所对圆周角是直角”來进行解答.这种题型出现的概率比较小，但是学生要有一定的积累.

2.重点例题分析

例1 已知：如图1所示，一次函数y=kx-1的图像经过点A（35，m）（m>0），与y轴交于点B，点C在线段AB上，且BC=2AC.过点C作x轴的垂线，垂足为点D，若AC=CD，

（1）求这个一次函数的表达式;

（2）已知一开口向下，以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q-455，0，求这条抛物线的表达式.

理解分析 这道题是2018年无锡中考压轴题.这一题的难度不是很大，题目设置比较常规，但是考查的内容和解答方法很全面，而且考生需要自己作图.在第（1）题中，过点B作BE⊥CD，过点A作AF⊥BE，AG⊥CD，垂足分别为E，F，G，则∠BEC=∠BFA=90°.利用“K型”相似，即△BEC∽△BFA.将斜线段比BC=2AC转化为坐标之间的关系，可以得到BE=25，则点C坐标为（25，25k-1），所以AG=5.同理易得△AGC∽△BEC，则CG=5k，而AC=CD=25k-1，在Rt△ACG中，利用勾股定理可得（25k-1）2=5+5k2，则k=255（负值舍去）.解这一问时需要注意及时将斜线段比进行转化，利用“K型”相似直接将问题和点的坐标联系起来，这是无锡中考的必考点，基本上年年都出现.

对于第（2）题，由第（1）题可得C（25，3），可设二次函数表达式为y=a（x-25）2+n（a<0）.画出图像（如图2所示），由“K型”相似可得△PNA∽△QMP，则QMPN=PMNA，即n1455=5n-5，则n=7（负值舍去）.最后代入A（35，5），则a=-25.所以抛物线表达式为y=-25（x-25）2+7.回顾第（2）题的解答过程，可以发现，这就是一道很典型的利用“K型”相似求解的题目：已知直角，过直角顶点作坐标轴垂线（或平行线），构造“K型”相似，代入点的坐标（线段长），最终得到正确的解.

3.综合分析

二次函数中有关直角关系的题目最常用的也是最基本的解题方法就是“K型”相似，对于涉及“直角关系”存在性的问题，可利用圆周角与直径的关系进行解答.在解答过程中，我们要对函数的表达式进行合理的变形（交点式、顶点式），使得计算更加简单，有时可以达到消元的目的.在直角坐标系中，线段的比值关系可由“K型”相似转化为坐标的关系，这是无锡中考必出的一个考点.若题设中的是含参数的二次函数表达式，则先写出对称轴，然后进行消元，利用线段比求出函数表达式与x轴的交点坐标，将抛物线表达式写成交点式.在解答这类综合题的过程中，我们不仅要关注题设条件和解答方法，还要通过回顾与反思来理解题目的本质结构.解题研究，尤其是中高考试题的分析研究，是一个非常广阔又颇具吸引力的领域.

二、倍角关系的转化与化归

1.二次函数中倍角关系的理解

在江苏近几年的中考题中，倍角关系的转化占有重要地位，成为2018年扬州卷、常州卷等中考压轴题.其中倍角关系的转化方法巧妙又灵活，我们经常利用等腰三角形或二次函数的对称性进行转化，这一题型考查考生对几何图形的综合理解与分析.

二次函数中的倍角关系题经常考查的知识点是二倍角的关系.遇到二倍角关系的相关题目时，我们常用的解题方法是：二次函数（等腰三角形）对称性转化;构造等腰三角形，利用外角进行转化;角平分线法.

那么三倍角的关系呢？如图3所示，若∠ABC=3∠BAC，则该如何转化？我们进行如下构造：设∠ABC=3θ，将∠ABC三等分，则∠BAD=∠DBA=θ，∠BDC=∠DBC=∠ABF=2θ，∠BFC=∠ABC=3θ，从而得到两组母子三角形相似：△ABF∽△BDF，△BFC∽△ABC.三倍角关系的处理更加需要技巧，这一点在试题中也有所体现.

2.重点例题分析

例1 如图4所示，二次函数y=-ax2+2ax+c（a>0）的图像交x轴于A，B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k（k≠0）与这个二次函数图像交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF.设二次函数图像顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函数的表达式.

理解分析 这一题是2017年无锡中考模拟题.题设中出现了倍角的关系.首先写出对称轴——直线x=1，A点坐标为（-2，0），B点坐标（4，0），则抛物线表达式写成交点式y=-a（x+2）（x-4），进行消元，则c=8a.由于DE=EF，则F（2，8a），与点C对称，且k=2a，进一步得到P（1，9a），D（0，4a），利用二次函数的对称关系，则∠CPF=2∠CPE=2∠DAB，所以tan∠CPE=1a=tan∠DAB=4a2，从而a=22.回顾这一题的求解过程，思路清晰明了，利用二次函数对称关系将倍角转化为等角关系，然后利用正切值（本质上是坐标三角形相似）求得结果.这一题也体现了消元的重要作用：方便理解点与点之间的关系（点C与点F的对称关系）;简化计算过程.

例2 如图5，二次函数y=-13x2+bx+2的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-4，0）.连接AC，BC，判断∠CAB与∠CBA的数量关系，并说明理由.

理解分析 这一题是2018年常州卷的压轴题.连接相关线段，我们基本可以得到∠CBA=2∠CAB.根据这样的关系，我们作点B关于y轴的对称点B′，如图所示.由题易得B（32，0），C（0，2），A（-4，0），则B′-32，0，则AB′=52=B′C，所以∠ACB′=∠CAB，利用外角关系则得到∠CB′B=2∠CAB，则∠CBA=2∠CAB.这一题的解答过程简洁明了，有点让人惊讶.实际上，这一题求证的倍角关系本质上是通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的外角来进行求解的.这种求解方法是倍角转化问题中的重要解题方法之一，在很多相关题目中都可以使用.

3.综合分析

二倍角关系的转化方法总体而言有三种.第一种是通过二次函数对称关系转化为等角关系来进行求解，如例1.这种方法在2018年扬州卷的压轴题中出现过，有兴趣的读者可以自行探究.第二种就是通过构造等腰三角形外角关系进行转化，再利用相似三角形（母子三角形相似）、勾股定理等方法求解.这两种方法是解决二倍角关系的经典方法，也是应用广泛的方法.第三种是利用角平分线进行二倍角关系的转化.如例2，可以作∠CBA的角平分线交y轴于点E，证明∠OBE=∠CAB.这种解答方法也是特别好用的，读者可以自行解答.当然二倍角的关系还包括一种关系——同弧所对圆心角是圆周角的二倍.这一考点在二次函数中很少涉及.有一道题经典题可以利用这一知识点解答，读者可自行探究，题目如下：

【变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-4mx+n（m>0）与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA，连接AC，BC.

（1）若△ABC是直角三角形，求n的值;

（2）将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC′，若点C′在抛物线的对称轴上，请求出此时抛物线的函数表达式.

三、角的和差关系的转化与化归

1.二次函数中角的和差关系的理解

对于角的和差关系，正常情况下我们都是利用三角形的外角来进行转化来得到母子三角形相似的（注意其与坐标三角形之间的紧密联系）.还有一类题目需要将所求转化为特殊角（45°）或等角关系，再根据等角关系进行求解（正切值、相似三角形等）.

2.重点例題分析

例1 如图6，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，O为坐标原点.设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长.

理解分析 这一题是2017年无锡模拟试题，典型的角的和差关系转化.根据题设条件，易得∠CBA=45°.当点P在x轴上方时，发现并不能将角的和差关系进行相应转化，但当点P在x轴下方时，延长CA，发现有外角关系存在.如图6，过点P作PD垂直于CA延长线，垂足为D，则∠OPA+∠OCA=∠CBA=∠DAP=45°，则△DAP为等腰直角三角形，可以构造“K型”全等.直线AC：y=3x+3，设P（0，t），D（m，3m+3），则-m=-（3m+3）3m+3-t=-1-m，解得m=-32，t=-2.所以P（0，-2），则CP=5;由对称性可得当P在x轴上方时，P（0，2），则CP=1.这一题也可以利用相似三角形求得结果，即△CAO∽△CPD，读者可自行解答.总结反思这一题，我们需要对题设条件有充分的认识，明确∠CBA=45°，将角的和差关系与三角形外角联系起来，这样求解起来就比较简单.如果纠结点P位于x轴上方对应的关系，那么会让自己走进死胡同出不来，要利用对称关系重新寻求突破口.

3.综合分析

角的和差关系在二次函数中考查的频率不是很高，一般的解答方法就是利用三角形外角进行转化，得到母子三角形相似，从而进行相应的求解.题目难度加大后，会出现其与等角的转化，此时要特别注意其与坐标三角形内角的正切值和45°这一特殊角之间的联系.总而言之，在解答过程中，学生要始终保持冷静，要运用数学思想方法，不能过于关注“述”而轻视“法”、忽略“道”，要善于总结与反思，透过现象看清本质.

【参考文献】

[1]包丽鸥.解法对比重在求“深”求“透”[J].中学数学教学参考，2018（17）：37.

[2]徐晓兵.找准基本教研点，做我们能做的事：写给准备做考研工作的青年教师[J].中学数学教学参考，2018（35）：58-62.