圆锥曲线两垂直切线的交点轨迹探究

安徽省合肥市第一中学 (230601) 谷留明

笔者在研究圆锥曲线准线上一点向该圆锥曲线引两条切线的过程中,得到结论:该点与相应焦点的连线垂直切点弦于相应焦点.与此同时注意到,对于抛物线,这两条切线恒垂直;而对于其他圆锥曲线,这两条切线不一定垂直.本文探讨对于圆锥曲线,能向该圆锥曲线引两条相互垂直的切线的动点轨迹问题.

定理1 若过一动点能向某抛物线引两条相互垂直的切线,则该动点的轨迹为该抛物线的准线.

证明:不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),如图1.

图1

那么,若过一动点能向其他圆锥曲线引两条相互垂直的切线,则该动点的轨迹是什么呢?

对于圆,易得以下结论.

图2

该结论证明较简单,略.

对于椭圆呢？可以遵循从特殊到一般,先猜想后证明的思路.

经网络画板(数学作图软件)模拟,结果正确.

用证明定理1的方法,类似地也可以证明.为简化计算,这里采用参数坐标来证明.如图3.

图3

(1)纯粹性.设

用类似的思路探究双曲线,又得到以下结论.

图4

证明方法类似定理3,略.

以上后三个定理还可以统一为以下形式.