直观想象素养下一道高中数学联赛题的解法探析*

福建省南平市高级中学 (353000) 江智如

1.试题呈现

在平面直角坐标系xOy中，圆Ω与抛物线Γ：y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于Γ的焦点F，求圆Ω的半径．(2019年全国高中数学联赛(A卷)一试第10题)

2.试题分析

本试题依托抛物线与圆的位置关系，考查抛物线与圆的相关知识，考生可以从几何与代数两个角度思考求解，求解的关键在于通过数学阅读，解读试题的图形信息，理解与掌握抛物线与圆的图形相关知识结论，建立形与数的联系，构建问题的直观模型，探索解决问题的方法与思路[1]．考查考生数形结合思想与运算求解能力．本文在直观想象素养下，对本试题的解开展探析．

3.试题解析

3.1 几何法

思路分析:借助抛物线与圆的图象，利用抛物线与圆的几何性质求解．

图1

评析:解法1把圆Ω与抛物线Γ的公切线作为光线的反射面，构造平行于对称轴的入射光线TP，利用抛物线的光学性质，其反射光线必过焦点，即TF，且TΩ为法线，从而得到TΩ平分∠PTF，再根据圆的性质求解，最终得到结果．由于利用抛物线的几何性质，所以求解过程中减少计算量，减轻考生的计算负担，考查考生数形结合思想与直观想象能力．解法1要求考生具有扎实的几何功底，体现数学学习的能力与潜能．同时能够引导学生养成数学阅读的习惯，扩大数学知识面，提高数学应用的能力，提升直观想象素养和数学建模素养．

3.2 导数法

思路分析:本题涉及曲线相切及唯一解问题，考虑利用导数法求解．

图2

评析:解法2依托含参函数问题的思想方法，根据抛物线与圆的位置关系联立方程，把问题转化为函数零点问题，分离参数[2]，通过讨论函数图象与参数交点个数的方法求解，得到圆Ω的半径r．考查导数求函数最值的相关知识与方法，符合考生的解题思维与习惯，考生容易思考求解，体现函数与方程的思想，考查化归与转化思想、数形结合思想和运算求解能力，突出逻辑推理素养和直观想象素养培养的功能．

3.3 AM-GM不等式法

思路分析:把曲线相切问题转化为函数的最值问题，考虑利用AM-GM不等式求解．

评析:分式型函数的最值问题常考虑利用AM-GM不等式求解，根据“一正二定三相等”[3]步骤，可求得函数的最值．解题关键在于构造AM-GM不等式的“形”，要求考生理解掌握AM-GM不等式的方法技巧．解法3与解法2虽然都是从函数的最值角度入手，但解法3技巧性高，可以减轻考生的计算负担，提高求解的时效性与准确性，有利于体现考生数学学习的能力和水平，同时考查考生逻辑思维能力、运算求解能力、创新应用能力，促进考生逻辑推理素养与数学运算素养的提升．

4.解法启示

数学阅读是高中数学学习的重要组成部分，科学有效的数学阅读，能够让高中学生理解试题信息，寻找解题思路，确立正确的解题策略，最终解决问题．本试题语言精炼，逻辑严谨，通过直观思维引导考生从抛物线与圆的几何特征出发，依托几何图形，建立形与数的联系，运用几何与代数相关知识求解．在日常的教学过程中，教师应加强数学阅读训练，设置有效的“精致练习”[4]，培养高中学生独立思考的习惯，提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质．