注重基础性综合性，体现引导教学功能

陈润鑫

【摘要】解三角形和数列是中学数学的重要知识板块，是高考考查的重点内容。高考数学考查解三角形和数列内容的主要特征有：贴近教材，注重基础性;各知识内容交叉、渗透，体现综合性;尝试创新试题结构，引入探究性，突出引导性。中学数学教学要重视基础知识，着力培养学生的数学核心素养，提高学生分析和解决问题的能力。

【关键词】高考;数学;核心素养;解三角形;数列

解三角形和数列是高中数学的基础且重要的内容，现行中学课程标准中，这些内容都是在必修课程中教授的，可见其基础性和重要性。高考数学对解三角形及数列的考查，在注重基础性，体现综合性的同时，迎合中国新高考评价体系，突出引导性。

一、解三角形和数列内容的考查特点

1.注重基础性

解三角形和数列是高考数学的必考内容。历年高考数学试题全面覆盖正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形中的边、角、面积的计算和有关的求范围问题。对于数列，特别是等差、等比数列的基本运算和性质更是高考考查热点。通过对数列的求通项、求前n项和基本原理和基本方法的考查，增强了考察内容的基础性，使学生牢固掌握解决问题的基本思想和方法，为学科核心素养的提升创造条件，打牢基础。

2.体现综合性

解三角形和数列涉及的内容多，高考由于试卷容量的限制，不可能涉及很多的试题，往往会通过试题的综合设计，将解三角形及数列的不同内容进行衔接或联系起来考查。如将解三角形的有关范围问题与不等式相结合;将解三角形的平面几何问题与立体几何中的几何体相结合;将数列与函数、不等式相结合等。注重试题的综合性，强调了各分支内容的相互交叉与渗透。要求学生将学过的基础知识、基本原理和基本方法综合运用起来，分析问题，解决问题，从而引导学生注重认识事物整体的结构功能和作用，鼓励学生从整体上分析各种现象的本质和规律，促进学生形成更全面、完整的知识结构。

3.突出引导性

新的高考评价体系中明确提出，高考围绕学科主干知识内容，加强对基本概念、基本思想方法的考查，杜绝偏题怪题和繁难试题，引导学生重视教材，夯实学生学习基础，给学生提供深度学习和思考空间。高考试题在设置上通过创设新颖的试题情境，引导学生进行深入思考和探究，实现从解题到解决问题的转变;引导教学应注重学生核心素养水平的提升，着力提高学生学科关键能力。

二、解三角形和数列内容的考查实践

1.回归教材，考查基本概念

例1（2020年高考数学全国Ⅲ卷理科第7题）

例1考查的是解三角形中的已知两边和一角，求另一角的余弦值问题，属于基础题型。考查的核心素养目标是直观想象和数学运算素养。在解决此类问题时只要能熟练掌握解三角形中的余弦定理，基本就能算出正确结果。

例2（2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第17题）

例2考查的是数列中的基本量计算和利用错位相减法求数列前n项和问题，属于基础题型。考查核心素养目标是逻辑推理和数学运算素养。题目较为简单，笔者在此不再详解。

以上例子都属于基础题型，考察学生对解三角形及数列基础知识的掌握程度，同时，通过一些简单的、常见的课本知识内容，甚至是课本的类似题型来考查学生的数学运算能力，直观想象能力以及分析问题、解决问题的能力，充分体现了基础性，引导教学要回归课本，注重基本概念和基本知识点的学习和掌握。

2.重视通性，考查思维层次

例3（2020年高考数学山东卷第14题）

例3考查的是数列求前n项和问题，但题目解法并非简单利用递推关系式或简单的等差等比数列基本量运算后求和，而是要先列举，并通过一定的逻辑推理，再利用化归的方法得出新数列的通项公式，从而求出前n项和。

例4（2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第16题）

例4考查的是解三角形中的求角問题，以三棱锥的平面展开图为载体，考查学生的直观想象和逻辑推理，以及数学运算等素养。该题需要直观想象出相应的空间几何体，理清三棱锥中的线面关系，以及展开成平面图后保持不变的量，才能进一步解决问题。解题过程中，应紧紧抓住三个相等关系：

以上例子考查了数列及解三角形中重要的内容，对学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等关键能力以及思维层次都提出了更高的要求。通过对学生解题通性通法的考查，充分体现了综合性。

3.引导教学，考查应变创新

例5（2020年高考数学山东卷第17题）

该题的解题方案有三种：

例5考察的是解三角形的问题，以解三角形为背景设计，给定若干条件，让学生在给出的几个条件中选择并进行解答或说明理由。属于新颖的结构不全试题，此类试题有效考查学生构建数学问题的能力，以及分析问题、解决问题的能力，具有很好的开放性。结构不全试题的命制，引导学生思维从知识的习得与记忆更多地转向问题的解决、策略的选择，使得数学应用在思维层面真正发生。

例6（2020年高考数学山东卷第18题）

例6第二个问题分析如下：

例6考查的知识内容：第一个为数列基本量的计算问题，通过联立方程组进行求解;第二个问题则要求学生有更高层次的逻辑推理以及类比整合和数学运算等核心素养。通过分类列举，将前100项的具体情况做概括性分析。试题引导中学数学应提高学生的综合分析能力，问题转化能力和逻辑推理能力等数学学科关键能力。

三、解三角形和数列内容的教学建议

通过以上分析可以看出，高考对解三角形和数列内容的考查，一方面是作为重要的基础知识，考查学生对基本概念和基本方法的掌握程度，同时，更重要的是考查学生核心素养的发展水平，以起到引导教学的功能。

利用解三角形和数列知识可以深入考查学生的数学运算、直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。（1）对数学运算的考查，可以是在解三角形中利用正余弦定理进行三角形的边长或面积以及范围的计算中，也可以是在等差、等比数列的基本量计算中，还可以是在数列的求通项、求前n项和的处理中;（2）对直观想象、逻辑推理的考查，主要是立体几何中的解三角形问题，通过对几何体中点线面位置关系的不变量进行考察，将空间几何问题化为平面的几何问题来处理;（3）数学抽象的考查，主要是在解三角形的实际应用题中，通过对问题的分析，将实际的问题，如测量宽度、高度等问题，抽象成解三角形的数学问题，再利用基本方法加以解决。

根据高考中对解三角形和数列内容的考查要求和特点，中学数学要全面学习基础知识，对解三角形的两个基本定理的运用，以及数列中等差、等比基本量的计算和求通项、求前n项和的基本方法与思想，一定要全面细致地过关。在教学上，对此部分内容应当认真细致落实教学进度，避免灌输难题怪题和偏题，同时也要给学生做练习和思考的时间与空间。通过全面教学，使学生了解知识的发生、发展和应用的过程。夯实学生的知识基础，使学生能够进行知识间的综合，从而达到对知识的灵活应用，充分培养学生的数学学科核心素养，着力提高学生的解决问题能力，进而推动数学学科核心素养和关键能力在教学中的落实。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].人民教育出版社，2020.

[3]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].人民教育出版社，2020.

[4]广东省教育考试院.2019年广东高考年报[M].广东高等教育出版社，2019.