高中数学建模素养培育的教学案例分析

吴必元

【摘要】高中数学教学中存在六大核心要素，这些要素可以使学生创立正确的数学思维模式，养成独立思考的良好习惯，并锻炼学生分析、解决问题的能力，提升学生的综合素质.本文就六大核心要素中的数学建模教学进行分析讨论，以教材“货船进出港时间问题”一课的三角函数模型为例，培养学生数学建模思想，并提升学生的数学建模水平.

【关键词】数学建模素养;教学案例;三角函数模型

数学建模活动需要学生积极配合教师的教学活动，以小组的形式展开课题讨论，并分析课题中的疑难点，在小组成员的共同努力下，合力解决问题，最终将讨论内容以报告的形式呈现[1].这种教学方式被列入《普通高中课程标准》课程内容中，在普通高中的数学教学中广泛应用，提升学生的综合能力.

一、数学建模的内容

数学建模就是把数学当中的实际问题抽象化，以数学特有的表达方式，灵活运用数学思维、知识等构建假想模型，进行研究推理，从而达到解决问题的目的.这一过程需要学生大胆想象，集思广益，互相碰撞出思维火花，从不同角度、不同出发点共同解决问题，从而开拓学生的思维宽度，有效提升数学课堂教学的质量.

二、研究分析数学建模教学模式

1.方式制定

主要以数学建模的方式，将学生分成多个讨论小组，组内之间进行协作研究，通过这种自主学习的方式，使学生从中取长处、补短处，做到自我反思、自我修正，并以小组的形式汇报交流成果，最终做成研究报告.

2.活动探究

（1）教学活动目标

首先，通过小组的形式进行自主探究，明确问题的解决方式及思路，从而建立正确的三角函数模型，锻炼学生分析数据、整合数据的能力;其次，依据建立的三角函数模型，采用正确的计算方式对实际问题进行计算，并理解问题本身的实际意义，提升学生的数学运算能力;最后，将运算结果进行交流展示，提升学生的数学语言表达能力.

（2）教学活动重、难点

本次教学活动的重点内容是提升学生对三角函数观察、分析的能力，对图像中所隐含的意义进行探知.难点在于如何依据实际问题建立正确的三角函数关系，并对函数进行求解.教学目标是引导学生对创建三角函数有系统性的概念，提升学生对抽象图像的观察、分析数据的能力，开拓学生的解题思维.

（3）教學活动内容

选取教学案例—“货船进出港时间问题”，选题内容：日月的引力影响着海水的潮起潮落，早潮晚汐.一般情况下，船驶进航道、靠近码头是在涨潮时;卸货后，返回海洋是在落潮时，以某季节中某港口一天时间内水深的变化情况为例（如表 1所示）.

从实际问题中找出时间与水深变化的函数关系，并提出问题：船身与水面的距离维持在4 m的位置，出于安全考虑，船底应与洋底保持1.5 m的间隙，那么该船驶入港口的时间是几时？可以停留多长时间？若在2点卸货，船身与水面的距离以0.3 m/h的速度减少，则必须在什么时间完成卸货工作并驶向深水区域？

（4）思考、体验与表达

①活动要求

以6人为一组划分学习小组共10个，分别对问题做出分析、解决，并要求各组代表汇报最终成果，以此形成论文或是心得体会.

②环节一：观察、分析数据，模拟图像

师：对数据进行仔细观察和分析，对函数图像做出材料和模拟.

1组代表：这个函数可能是存在周期性特点的函数.

4组代表：你们怎么获得这一结论的？

2组代表：将时间、水深分别看成横、纵坐标，在直角坐标系中绘制散点图.

师：其他小组有没有别的想法？

生：没有.

师：结合散点图，同学们试试看，对函数图像进行观察和猜想，同时绘制出具体的函数图像.

6组代表：函数图像属于复合型三角函数图像.

师：说一说具体的理由.

6组代表：用平滑曲线对散点进行连接，了解到初相和振幅产生位置变化.

师：推理有依有据，不过应求出具体的函数解析式.

③环节二：验证猜想、推理论证、建立模型

师：三角函数模型的图像绘制完后，同学们可以回忆之前学习的三角函数模型y=Asin（ωx+φ）+h.借助数据和图像，各组可对这道题的函数模型进行思考与计算.

各组思考探讨之后，得出推导过程如下：

由数据和函数图像可知A=2.5，h=5，T=5，φ=0.

由T=2πω=12，得ω=π6，因此，水深、时间的关系便可以用如下函数解析式表达：y=2.5sin π6x+5.

师：同学们能否解释A，h，T，φ，ω是如何获得的？表述出具体理由.

生1：观察图像，平衡位置变为y=5，所以A代表离开平衡位置的最大距离，A=7.5-5=52;周期T则可直接从图像中获得;ω则利用T=2πω获得;h是平衡位置变化形成的差值;φ可将某点代入解析式进行计算获得.

师：其他同学是否存在别的想法？

生2：A同样可利用最高点和最低点之间的差值计算，再除以2，A=7.5-2.52.

生3：h可利用h=7.5+2.52=5.

师：不错，同学们对上述推理可以尝试分析一下，计算结果是正确的，不过解析式方面还存在不足，φ，ω应该是多个值，所以，解析式中应该做出限定，可以限定- π2<φ<π2，或φ>0.

生：原来如此，这样解析式便可以保证唯一.

构建函数模型是解题的关键，对数据加以正确、合理的运用，对函数图像进行模拟，能够使学生做出更加充分的思考与猜想，利用合作探讨的方式对函数模型做出推导、计算以及验证.利用数形结合思想，充分展示出数学的逻辑性与抽象化的过程.

④环节三：数学运算，模型求解和验证

师：基于函数模型y=2.5sinπ6x+5，求出整点时刻水深的近似值.

通过小组思考探讨，获得整点时刻水深的近似值.

师：结合题目中的问题，各小组进行思考探讨，并进行计算解答.

1组代表：计算安全水深是4+1.5=5.5（m），y≥5.5 m情况下可驶入港口，2.5sin π6x+5=5.5，sinπ6x=0.2，结合题目，作直线y=5、函数y=2.5sin π6x+5的图像如下图.

结合题意x∈（0，12），两函数图像之间存在交点M，N，因此，可知π6x≈0.2或π-π6x≈0.2，可以求出：

xM≈0.38，xN≈5.62xP≈12+0.38=12.38xQ≈12+5.62=17.62

生4：基于以上结果，货船可于0：30，5：30分别驶入、驶出港口;或是12：30，17：30分别驶入、驶出港口，货船停留时间为5小时.

师：这是通过哪种方法计算求解的？

生5：结合数据绘制图像，通过特殊值进行解方程.

师：非常好，同学们可以运用数形结合思想，这是非常关键的思想方法，有没有不同的解法？

生6：可通过量函数建立方程组，利用方程思想进行解答，即代数法.

师：不错，不同方法，不同思想.

⑤环节四：模型总结、反思和检验

师：同学们可以结合上述模型，各组设计问题，并进行计算，检验答案有无差异.

通过思考探讨，提出问题：对题目最后一问的条件做出改编，如果某船吃水深度保持在3 m，剩余条件相同，那么在什么时间完成卸货工作并驶向深水区域？

各组之间对问题进行计算解答.

获得最终结果，第3，5组计算存在相应的误差，要求学生返回模型，重新代入数据计算，分析问题并做出修订.

⑥成果展示

由各组做出总结、反思与思考探讨，对修订成果以论文形式进行分享.

⑦环节五：交流体验、反思评价

课后访谈，部分学生认为：

生7：数据分析处理非常关键，运算同样要有正确、合理的方法.

生8：对数据模拟图像的充分利用是解题的重点.

生9：这节课让我认识到独立思考问题非常关键，也要学会沟通交流，对自身观点做出充分表达.

生10：利用合作学习的方式，掌握了撰写学习报告，使我认识到数学建模所具有的含义，感受到数学的应用价值.

通过案例得知，函数模型的选择应对问题数据做出充分仔细的分析，模拟散点图以及函数模型的正确选择，均属于解决问题的重要环节，这也成为实际问题数学化中应当重点培养的数学综合能力.学生对各不同函数模型的选择，不但需教师引导学生做出探讨交流，指导学生返回问题本身，构建合适的模型.

此题能够利用计算的部分较多，如散点图、函数图像等方面.教学阶段，教师需指导通过信息技术完成作图与函数值求解，并对函数变化规律形象直观地演示，对函数变化规律做出仔细观察与思考分析，使学生可以对问题本质形成更加深入的透彻理解.

三、教学活动的启示

1.选取数学典型案例

通过选取数学典型案例，采用灵活的处理方式，提升学生的综合素质.数学建模思维形成的“数学化”与“再创造”过程，是培养学生建立数学素养的重要组成因素，基于此，选取数学典型案例的做法，可以活跃学生的数学思维，提升学生对数学的兴趣，凸显数学的趣味.

2.教学方式多元化

数学建模的教学活动与其他数学知识的教学活动存在一定的差异，其具备独特的教学风格，在解题过程中，往往需要学生主动参与，对问题进行知识探究，从而确定解题思路、运算方法、结果验证等步驟，是学生提升数学综合素养的过程[2].教师在此期间应积极引导学生阅读、自学、自主探究，培养学生数学建模的表达能力.

3.建立科学的评价体系

数学建模的目的是通过建模使学生建立正确的数学解题思路.根据数学建模素养在《标准》条例下的发展水平，需要进行具有科学依据的整体评价.首先，对学生的学习过程、结果、语言表达进行全方位的评价;其次，学生自身进行自我总结，并进行学生之间的互评、师生互评;最后，围绕建模教学的最终成果进行总结.

四、结束语

总而言之，数学建模在数学教学的开发上起到了至关重要的作用，不仅解决了数学教学中学生理解知识晦涩的难题，同时也使学生建模抽象化的分析能力得到了飞跃提升，提升了学生分析数据、语言表达、思维转换等多种能力.

【参考文献】

[1]彭乃霞，谢辉，徐大刚.高中数学建模素养培育的教学案例分析——以人教版（A）数学必修4三角函数模型之“货船进出港时间问题”为例[J].兴义民族师范学院学报，2019（02）：74-81.

[2]吴倩.学会用数学语言表述数学问题[J].全球教育展望，2007（36）：76.