高考题因探究而精彩*

安徽省宣城中学(242000) 吴卫卫

解析几何是沟通代数和几何的重要桥梁,解决相关问题是,有知识综合性强、方法灵活、对运算能力和逻辑推理能力要求较高的特点.大部分同学往往在具体问题的求解过程中因为条件多、变化活、运算繁琐而不知如何下手,或虽有思路却因运算不过关而半途而废.面对诸多的问题,作为一线教师的我们不能一昧的做题、讲题,而应有意识、有目的地研究试题,尤其是高考题,力求找寻其规律及本质,把握通性通法方能触类旁通.本文以2019年全国数学高考ⅠⅠ卷理科第21题为例,再结合近年来的高考题得到离心率是的椭圆的一些充要条件,以期对研究试题有所帮助.原题节选如下：

题目1已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.证明：△PQG是直角三角形.

本题来源于2011年高考数学江苏卷第18题.对于第(2)问的第(i)问,参考文献[1]中得到了以下结论：

结论1椭圆C:=1(a＞b＞0)且a2=2b2,过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G,则PQ⊥PG.

结论2椭圆C:过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G,设直线PQ的斜率为k1,直线PG的斜率为k2,则k1k2=

结合结论1和2我们就得到了以下的结论.

性质1(椭圆离心率为的充要条件1)椭圆C:=1(a＞b＞0),过原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G,则PQ⊥PG的充分必要条件是椭圆C满足a2=2b2,即离心率为.

得到这一性质,我们不禁有这样一个疑问：还有没有椭圆离心率为的其它充要条件呢?答案是肯定的,可是到哪去找呢?为此,笔者翻阅了近几年全国各地的高考题发现2015年上海理科21题、2011年全国卷理科21题、2010年山东理科21题有同样的性质.

题目2已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.设l1与l2的斜率之积为,求面积S的值.

性质2(椭圆离心率为的充要条件2)对椭圆=1(a＞b＞0),过原点的直线l1和l2分别与椭圆交于A,B和C,D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S,且l1与l2的斜率之积为,则椭圆的离心率为的充要条件是面积S为定值2ab.

证明充分性的证明,参见文[2],此处从略.下面我们主要证明必要性.

设l1的斜率为k,由

即

即a4-4a2c2+4c4=0,得出 4e4-4e2+1=0即2e2=1,e=.综上,性质2得证,即椭圆离心率为的充要条件2成立.

题目3已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点,点P满足

(1)证明：点P在C上;

(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明：A,P,B,Q四点在同一圆上.

性质3(椭圆离心率为的充要条件3)设直线l过椭圆的左焦点,其斜率为且与椭圆交于A,B两点,P满足则椭圆的离心率为的充要条件是P在椭圆上.

证明设直线方程为y=(x+c),与椭圆联立得2x2+2cx-b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则

所以

即a2=2c2,即e=,反过来显然成立.

接下来,我们考虑A,P,B,Q四点是否在同一圆上?经过探究得到了：

性质4(椭圆离心率为的充要条件4)设直线l过椭圆的左焦点,其斜率为且与椭圆交于A,B两点,P满足点P关于点O的对称点为Q,则椭圆的离心率为的充要条件是A,P,B,Q四点在同一圆上.

证明结合(1)知设经过A,P,B的圆方程为

则有

把方程组的前两项相加结合第(1)得到

方程组第三项可化为

再结合前面得到

显然A,P,B,Q四点在同一圆上等价于a2=2c2等价于.

题目4已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

性质5(椭圆离心率为的充要条件5)已知椭圆=1(a＞b＞0)与双曲线C2顶点焦点互置,F1,F2为C1的左右焦点,P为C2上异于顶点的任一点,直线PF1和C1相交于A,B两点,直线PF2和C2相交于C,D两点,则为定值的充要条件是椭圆C1的离心率e=.

性质5的证明参见[3],此处从略.