从两道高考解析几何题谈抛物线切线的生成

广州市荔湾区教育发展研究院(510370) 庞新军

华南师范大学数学科学学院(510631) 黄丽纯

高考试题是经过高考命题专家精心研究命制出的蕴涵着丰富内容的优秀试题,这些试题以能力立意命题为指导思想,以数学知识为基础和载体,从测量考生的发展性和创造性入手,突出对推理论证能力、应用意识和创新意识的考查.如果我们一线教师能深刻领会试题的背景和立意,并在此基础之上进一步拓展延伸,形成“会一题通一类”的方法,那么我们的教学效果就能锦上添花、更进一层.下面从两道高考解析几何题展开探究和思考.

1.原题再现

题1(2016年全国Ⅰ卷文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t̸=0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p＞0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON,并延长交C于点H.

(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?并说明理由.

图1

解(1)如图1,由已知得,又N为M关于点P的对称点,故,故直线ON的方程为,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此所以N为OH的中点,即.

(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下：直线MH的方程为代入y2=2px,得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点.

题2(2017年全国Ⅰ卷文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率;

(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.

解(1)如图2,kAB==1.

图2

(2)如图2,设M(x3,y3),由,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,由x1+x2=4,故线段AB的中点为N(2,2+m),将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.弦长由题设知|AB|=2|MN|,解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.

2.试题评析

题1题面言简意赅,构思巧妙,主要考查抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系.题1命制的出发点实际上是从抛物线外一点通过尺规作图的方法作抛物线切线的过程.试题第(1)问以计算题呈现,通过动直线l与y轴以及与抛物线C的交点确定N点,由此再确定H点,求出的值.表面上是求比值,实际是借助点P是MN的中点,去证明点N是OH的中点,用代数运算证明几何特征,体现解析几何特有的魅力.第(2)问实际上是论证直线与抛物线相切,但设问是开放式的,需先判断再证明,体现探究的意识,综合考查考生的逻辑推理、数学运算和直观想象等数学核心素养.

题1还体现高考试题以考促教的功能,试题向教学延伸,对教学良性引导的特点值得提倡.题1介绍了一种应用尺规过y轴上一点作抛物线y2=2px切线的方法,教师可以结合试题给学生讲评并留下探索问题——“能否过抛物线外一点用尺规作出切线?”为学生创造自主探究学习的机会和氛围.

题2主要考查考生对抛物线基本性质的理解、直线与抛物线交点的求法及如何运用导数解决几何曲线的切线问题,考查的知识点比较全面.第(1)问求直线斜率的方法多样,有利于学生作答,求出kAB=1的结果时可以看出,此时AB直线的位置是不确定的,应是一组平行线.第(2)问中给出“M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行”,可以确定出点M的位置,再加上“AM⊥BM”时,就可以确定AB的直线方程.

相比题1,题2虽然也考查逻辑推理、数学运算和直观想象等数学核心素养,但侧重点在运算求解方面,在数学思维方面略显不足.如果我们教师能潜心研究,细心琢磨,题2中也还是别有洞天,蕴含玄机的.在图2中,存在以下一些问题值得思考：

①当AB表示一组平行线时,这组平行线的中点是否在一条直线上?是否经过点M?

②当点M处的切线与AB平行时,AB的中点N与点M的位置关系怎样?

③设点N关于点M的对称点为T时,直线AT、BT与抛物线是否相切?

如此这般探究,题1与题2便建立了一定的联系.

3.由题1-2引伸出的相关命题

图3

命题 1如图3,点H(非顶点)为抛物线y2=2px(p＞0)上任一点,过OH中点N作抛物线对称轴的平行线,交抛物线于点P,N关于点P的对称点为M,则直线MH为抛物线在点H处的切线.

命题1可以看出题1的逆命题,通过点N为OH的中点,则N关于点P的对称点为M在切线上,并且M点在y轴上,这不是偶然,证明省略.进一步思考,如果令点N为抛物线任意弦的中点,是否也可以得到作抛物线的切线?

图4

命题2如图4,点H(非顶点)为抛物线y2=2px(p＞0)上任一点,过抛物线的任意弦HA的中点N作x轴的平行线,交抛物线于点P,N关于点P的对称点为M,则直线MH为抛物线在点H处的切线,直线MA为抛物线在点A处的切线.

证明设点H(x0,y0),A(x1,y1),则NP的方程为,又因为P在抛物线上,由,得到,因为P是MN的中点,则,所以直线MH的斜率,MH的方程为,即yy0=p(x+x0),直线MH为抛物线在点H处的切线.同理可得直线MA为抛物线在点A处的切线.

再进一步思考,如果点N不是任意弦HA的中点,只是对应线段成比例的点,是否能得到抛物线的切线呢?

图5

命题3如图 5,点H(非顶点)为抛物线y2=2px(p＞0)上任一点,过抛物线的任意弦HA上一点N作抛物线对称轴的平行线,交抛物线于点P,点M满足R),则直线MH为抛物线在点H处的切线.

证明设点H(x0,y0),A(x1,y1),N(xN,yN),由,得

得到N(λx0+x1-λx1,λy0+y1-λy1),因为直线PH平行于x轴,且P点在抛物线y2=2px上,所以

MH的方程为即yy0=p(x+x0).直线MH为抛物线在点H处的切线.

题2的第(2)问解答过程中发现AB的中点N与M点的连线平行于抛物线的对称轴,点M处的切线与直线AB平行,而题1的OH的中点N与P点的连线也平行于抛物线的对称轴,作出P点处的切线,发现P处的切线斜率,即P处的切线也与直线OH平行;这些都是题1和题2的异曲同工之处.从题1和题2的相似点出发,可以得到有关抛物线切线的命题4.

命题4如图6,抛物线y2=2px(p＞0)的一组平行弦中点的轨迹是平行于对称轴的一条射线,射线交抛物线上一点H,过点H作直线HT平行于平行弦,则直线HT为抛物线在点H处的切线.

图6

证明设平行弦所在的直线斜率为k,方程为y=kx+b,解方程组

得(kx+b)2=2px,化简得

所以,以k为斜率的平行弦中点的横坐标为

,代入y=kx+b得,因此以k为斜率的平行弦中点轨迹是一条射线,所在直线方程为,平行于抛物线的对物轴.由,得到所以直线HT的方程为y=kx+.联立方程

4.由题1-2引伸出的抛物线切线的尺规作图法

有了上述关于抛物线切线的四个真命题,我们便可用尺规的作出抛物线的切线.

在题1中,切线MH的方程为与x轴的交点坐标,由此可知切线与x轴的交点横坐标与切点横坐标互为相反数,对比M(0,t)和切点的坐标,yH=2yM,可得到作法1、作法2、作法3、作法4、作法5.

图7

图8

作法1如图7,过点H作抛物线对称轴的垂线交对称轴于点B;以顶点O为圆心,|OB|为半径画弧,与抛物线的对称轴交于一点T(异于点B);连结TH,直线TH即为抛物线在点H处的切线.

作法2如图8,连结OH,取OH中点N;过点N作抛物线对称轴的平行线交y轴于点M;连结MH,直线MH即为抛物线在点H处的切线.

图9

图10

作法3如图9,过点H作抛物线对称轴的垂线交对称轴于点B;连结BH,取BH中点N;过点N作抛物线对称轴的平行线交y轴于点M;连结MH,则直线MH为抛物线在点H处的切线.

作法4如图10,过H作y轴的垂线,垂足为A;取OA中点M,连结MH,直线MH即为抛物线在点H处的切线.

图11

图12

作法5如图11,以M为圆心,|OM|为半径画弧,交y轴于点A;过A作y轴的垂线,交抛物线于点H,连结MH,直线MH即为抛物线在点H处的切线.

由题2和命题5,设点H(xH,yH),P(2xH,yH),令P为线段OG的中点,则G(4xH,2yH),因为H在抛物线上,所以G也在抛物线上,因此P是以OG为弦的中点,而HP平行于x轴,过H平行于OP的直线HT为H点处抛物线的切线.由此得到作法6.

作法6如图12,过点H作抛物线对称轴的垂线交对称轴于点M,在x轴上取一点N,使ON=2OM,作HP平行于x轴,PN垂直于x轴;连OP,过H作OP的平行线HT,即为H点处抛物线的切线.

对于抛物线上任一点H,只需在抛物线上确定纵坐标以yH为等差中项的另外两点A,B,过点H平行于弦AB的直线即为切线.若取原点为点A,点B横坐标为yB=2yH.据此有作法7.

作法7如图13,以点H为圆心,|HA|为半径作圆弧交y轴于点D;过点D作y轴垂线交抛物线于点B,连接AB;过点H作AB的平行线l.直线l即为抛物线在点H的切线.以上两种作法均是以已知坐标轴为前提(或说已知抛物线的对称轴),有一定局限性.笔者利用命题5,将作法7升华,通过分别构造平行于x轴和y轴的相交直线,得到一种无需依靠对称轴、顶点等任何有关抛物线的附加条件的作法8.

图13

图14

作法8如图14,在抛物线上作两条平行的弦,作出中点连线PQ;作曲线上不同点H的另一点A,过A作直线PQ的垂线l;以点H为圆心,|HA|为半径作圆弧,交直线l于另一点D;过点D作直线l的垂线交抛物线于点B,连接AB;过点H作弦AB的平行线l′.直线l′即为点H的切线.

理解了上述抛物线切线的8种生成方法,再回头看题1和题2,就不再感觉高考试题命制是那么神秘、高不可攀,我们一线教师也能命制出类似的好题.通过对试题深入地思考探究,挖掘高考试题的特征,揭露研究问题的本质,有助于我们一线教师优化教学内容增强教学实效,有助于提高学生分析和解决问题的能力,提升学生的数学学科核心素养.