2019年高考全国Ⅰ卷文科第16题的探究*

广东省中山市濠头中学(528400) 张 宇

一、试题呈现

已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,P点到∠ACB两边AC,BC的距离均为那么P到平面ABC的距离为____.

分析本题涉及空间角与空间距离之间的计算,以及空间图形的作图、读图能力,较好的体现了核心素养中数学运算、空间想象、逻辑推理等能力的考查,下面先对考题的解法做一些探究.

二、解法探究

解法1如图1,设点P在平面ABC内的射影为O,在边AC,BC的射影分别为E,F.由于PC=2,PE=PF=故CE=CF=1,且CB⊥OF,AC⊥OE,又∠ACB=90°,所以OECF为正方形,所以OE=1,所以P到平面ABC的距离

图1

图2

评注直接利用特殊图形如正方形、直角三角形的边角关系计算,要求考生要较强的作图、识图能力.

解法2如图2,令PA=PB=PC=2,则点P在平面ABC内的射影为点O是△ABC的外心,即斜边AB的中点;因为P点到∠ACB两边AC,BC的距离均为易求得AC=BC=2,又 ∠ACB=90°,所以AB=又因为PA2+PB2=AB2,所以△PAB为等腰直角三角形,从而

评注本题作为文科数学填空压轴题,遵从小题小做的原则,可以从特例法的视角入手,根据已知条件构造特殊的几何体来确定顶点的投影位置,进而极大的简化运算.

解法3 先给出一个常用结论

图3

三余弦定理若平面的一条斜线与这个平面所成角为α,平面内的一条直线与这条斜线及其射影所成的锐角(或直角)分别为β,γ,则有 cosβ=cosα·cosγ.

设点P在平面ABC内的射影为O点,在边AC,BC的射影分别为E,F,连接OC,如图3,因为PC=2,PE=PF=所以 ∠PCF= ∠PCE=60°,又OE=OF,所以 ∠OCB=45°,由三余弦定理可知：cos∠PCF=cos∠OCB·cos∠OCP,故 cos∠OCP=从而PO=OC=

图4

评注试题本质上考查了空间线面角和线线角的关系,故借用三余弦定理解题能快速的找到解决问题的突破口,从而顺利求解出问题,要求考生在平时的解题的训练中多注重二级结论的探究及应用.

解法4通过具体的空间图形(如图4)不难发现存在若干个直角三角形,如Rt△PCF,Rt△PFO,Rt△PCO,Rt△OCF,且点P在平面ABC内的射影O点在∠ACB的角平分线上.设线段CF,OF,OC,PO的长度分别为x,y,z,d,由勾股定理得解得x=y=1,z=d=故PO=.

评注因图形中出现了多个直角三角形,考虑利用勾股定理建立边角之间的联系,从勾股运算和解方程组的角度来解题,虽说有一定的运算量,但也不失为一种较好的解题方法,根据本解法思路,还可以对本题做一些拓展研究.

三、变式拓展

一道好的试题不能仅仅局限于解法上,重要的是提炼解决此类问题的通性通法,揭示数学本质,形成数学方法与思想,促进学生数学核心素养的提高;本题根据PC长度,P点到∠ACB两边AC,BC的距离以及∠ACB的大小可以尝试拓展一般性结论：

结论1已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,若PC=m,P点到两边AC,BC的距离均为n,则P到平面ABC的距离为.

结论2已知∠ACB=60°,P为平面ABC外一点,若PC=m,P点到∠ACB两边AC,BC的距离均为n,则P到平面ABC的距离为.

结论3已知 ∠ACB=2θ(θ∈(0,)),P为平面ABC外一点,若PC=m,P点到∠ACB两边AC,BC_的距离均为n,则P到平面ABC的距离为.

图5

解析如图 5所示在诸多Rt△PCF,Rt△PFO,Rt△PCO,Rt△OCF中,设线段CF,OF,OC,PO的长度分别为x,y,z,d.PC=m,PF=n,由勾股定理得

解得x=y=·tanθ,d=.

四、命题背景探究

学生们认为该试题有难度是因为没有把握问题的本质,对于图形的识别与理解以及空间角的度量转换掌握不到位.上述结论我们还可以作进一步探究,会有意想不到的收获：

如图5, 令∠PCB=α, 在Rt△PCF中,x=mcosα,n=msinα, 则y=x·tanθ=mcosα·tanθ; 在Rt△POF中,d=在Rt△PCO中, 有sin∠PCO==,所以 cos∠PCO=,故cosα=cos∠PCO·cosθ,即解法3中的三余弦定理结论的模型,这也就是该试题的命题背景所在;近些年来以三余弦定理为背景的高考题也是常见的,如2017年全国3卷理科第16题、2018年浙江卷第8题、2019年浙江卷第8题等在文[1]中有详细的说明,此处不一一列举.试题以三余弦定理为模型研究空间线线角和线面角之间的关系,体现了高考题中对于学生空间想象以及逻辑推理、数学运算等核心素养的考查有更高的要求,对于今后的教学中发展数学核心素养有很好的导向作用.

五、教学建议

立体几何中几何元素间的位置关系、度量关系是高考常考的重难点内容,碰到这类问题应该多去思考每一道试题的命题背景及本质,找到解决此类问题的通性通法;复习中要强化模型思维,如本题能借用三余弦定理模型将会快速找到解题的突破口;本题的另一难点在于图形的识别和平面几何关系转化,即通过已知条件求得相对应的边角关系,平面几何中如直角、等腰三角形等特殊图形的结论在复习中也要强化.

在解题的教学过程中,解题的回顾与反思往往比解决这个问题本身更重要,只有真正理解一个问题的本质,才能跳出题海的禁锢.在今后的解题训练中要加强对问题的基础性、综合性和探究性研究,引导教学注重方法指导,在解决问题中发展学生的数学核心素养.