让推理自然发生

刘晓萍

[摘 要]

运算律是由多个知识点所组成，按部就班的教学，耗时耗力。析取加法交换律作为运算律的核心，以精选素材、引起关注、多元表征、回顾反思等策略，可以实现“教是为了不教”的目的。

[关键词]

关键能力;核心知识;推理;思维

一、运算律教学的价值追寻

史宁中教授说：“人们经历多年数的运算的使用，如：30+54=84，54+30=84;15+8=23，8+15=23……最终希望以符号或者简洁的语言描述其特征，于是加法交换律就有了书本语言的高度概括。”由此可以窥见，运算律是人们对无以数计的计算之后，关注其变与不变的现象之后，所作出的普适性结论。那么当下的学生学习运算律，就是让数学史浓缩后再重演，当然在理论上这也就成了皮亚杰所言的认识发生论的注脚。

运算律还是计算法则的依据所在，例如乘法在用竖式计算时，每一次相乘，以及相乘之后的相加，都是乘法分配律的具体应用;例如一年级学生口算的程序“凑十”计算法，就是加法的结合律;再比如加法交换律，正是其可交换性，可以用来验算。

运算律更是“律”，从“彳”，从“聿”，即行动的准则，那么学生通过自己的努力，探索出数学运算有一定的可遵守的准则，并在其中积累学习经验，积累解决问题的策略，自会对其他数学内容的学习，甚至其他学科知识的学习，形成迁移。

所以说，运算律教学的目标已远不止大家常言的简便运算，其中所蕴含的丰富的学科基本思想、基本方法、理性精神是学科核心知识教学研究的重要价值追求。不过，运算律含有多个形式，在加法中，有交换律、结合律;在乘法中，也有交换律、结合律;在乘加、乘减两级运算中有分配律;在减法、除法中，有减法的性质和除法的性质，甚至还有和差的变化规律、积的变化规律和商不变的规律、小数的性质、分数的基本性质、比的基本性质，等等。教材一般按照“逐步渗透、集中教学、拓展延伸”的思路，先从直观的整数开始教学运算律，随着数系的扩张，逐步推广到小数、分数的运算中去。按部就班的教学，定然耗时耗力。如果以加法交换律作为引子，教会学生循着这样的路径学习：“解决一个实际问题——看到一个数学现象——举出更多例子——在众多实例中抽象概括——用符号表示发现的规律。”那么只教“一”，学生也就能体悟“三”了，即是叶圣陶先生所追求的教学理想：“教的目的是为了不教。”

二、“加法交换律”作为核心知识的推理培育

（一）以儿童立场精选推理素材

【片段再现1】

师：根据这个同学的问题，可算式28+17，我是这样想的：男生跳绳人数+女生跳绳人数=跳绳总人数。你们还可以列出一个算式吗？并说说自己是怎么想的。

生：17+28，我是这样想的：女生跳绳人数+男生跳绳人数=跳绳总人数。

师：综合我们俩的算式，也就是说——

生：28+17=17+28

师：还是说跳绳的故事，不过得改动人数，你还能根据条件和问题，写出一个类似的等式吗？

生：跳绳的男生有29人，跳绳的女生有32人，一共有多少学生跳绳？借助问题，可以列出29+32=32+29。

师：看着这两个算式，有点感觉么？

生：……

师：别急着说，带着这种感觉，不要问题做支撑，根据我们的感觉，你能再写出一个这样的等式吗？

生：5+4=4+5。

生：99+100=100+99……

师：现在可谈谈你的感觉了么？

生：这样的等式都是两个数字在做加法运算。

生：而且等式中左右两边两个加数的数字都没变，和也没变，但是加数的位置变了。

师：根据你发现的算式特征，可以提出怎样的问题？

生：两个数相加的式子，如果交换两个加数的位置，它们的和都不变吗？

师：这个问题可以说是一个很好的猜想。那我们还需要——

生：验证。

师：你们准备怎样验证？

生：举例子。

生：20+30=30+20。

生：8+9=9+8。

生：我觉得要举更多范围更多样式的数。

师：能说得更明白一些么？

生：要举整数、小数。

生：也要举特殊的数。

生：例如最小的自然数，最小的一位数，不过0+1=1+0。

生：0.7+0.3=0.3+0.7。

师：我们能不能举一个交换加数的位置，和变了的反例，试试看。

生：找不出。

师：你能用一个自己喜欢的方式，简洁地把具有这种特征的式子表示出来吗？

生：甲+乙=乙+甲。

生：a+b=b+a。

师：字母符号就是简洁，不过，能用自己的语言方式再表达一下这个意思吗？

生：在两个数相加的加法运算里，我们发现交换两个加数的位置，和不变。

如果学生只能通过记忆套路解决问题，数学思考不算真正发生。学生的解题技能虽然发展了，或者说学生能做对题目，但学习抽象、推理、建模的空间就缩小了。而大量的研究表明：在良好的情景中，学生不会仅仅依靠记忆解决问题，而是思考背景意义与运算的关系，并在思考中发展理解。因为情景的實际意蕴可将数物态，从而使得抽象的数成为具体的可数。

以此回顾“加法交换律”的教学，教学之始，老师选择学生熟知的跳绳比赛情景导入新知，学生能快速地想到男生人数与女生人数的和是总人数，从而由数量关系基本感悟了交换加数的位置变化算式之后，存在着某些不变的量。这样当老师提出：“还是说跳绳的故事，不过得改动人数，你还能根据条件和问题，写出一个类似的等式吗？”学生依据数量关系，不但能写出无尽的等式，而且还可以据此讲道理：“男生跳绳人数+女生跳绳人数=跳绳总人数，女生跳绳人数+男生跳绳人数=跳绳总人数，跳绳总人数不变，所以29+32=32+29。”

由此埋下推理的种子，因为学生毕竟还是疑惑：“虽然举了好多好多的例子，也找不出反例，我们相信‘两个数相加，交换两个加数的位置，和不变，但是如果有更严谨的说明就好了。”于是学生便在头脑中搜索有关情景，借助于线段图或者符号图，用“接着数”“说故事”“一一对应”“想加法运算的意义”等多种方式自我释疑（见教学片段2）。这样就如授课老师自己设想的那样：学生的推理能力不断得以发展。

同时，四年级的学生在心理上，无不充满着好奇，而且忍不住好问、好表达。因而，“加法交换律”的学习不应当是封闭的课堂认知，其研究资源的甄选，既要与四年级学生的智力水平相适应，但又不能让学生轻易学会，始终要让他们充满信心又感到不足。

（二）以直观感知培植推理幼芽

继续分析“片段1”中“跳绳比赛情景导入”，因为老师示范用数量关系说出列式的理由，而加法的本源是合并，因此加法的交换性，学生提取加法意义的学习经历，就足以直接直觉。这样，老师后续提出问题：“别急着说，带着这种感觉，不要问题做支撑，根据我们的感觉，你能再写出一个这样的等式吗？”学生很快回答出5+4=4+5、100+99=99+100……同时，学生在关注等式的过程中，由于聚焦了数字，于是对“加数没变，和没变，加数的位置变了”又有了直观感知。有了这样的直观感知之后，好奇被激发，加之无法举出所有例子的困境，更加促使学生想弄清楚为什么会这样。

【片段再现2】

师：其实我们还是一年级的小娃娃时，就早已和加法交换律交上了朋友。不信？请大家一边看，一边回忆回忆：

师：你现在知道为什么用交换两个加数的位置再加一遍来验算了吗？

生：交换两个加数的位置，和不变。

师：今天所学的加法交换律是老师告诉你的吗？

生：不是。

师：那你是怎么得到的？

生：我们根据观察一些算式，先提出了猜想，接着通过举例子验证，从而得到结论。

生：我们虽然举了好多好多的例子都能说明“交换两个加数的位置，和不变”，但是例子是举不完的;虽然也找不出反例，但是“找不出反例”很有可能是暂时的，也许只是我们现在实力不够而已。

生：许多例子成立，也不能说明这个规律就是真理。例如著名的“哥德巴赫猜想”，都猜想了300多年啦，数也数不清的例子都说明这个猜想是正确的，据说举的例子差不多可以写满地球好几圈，甚至连电脑都用上了，也找不到一个反例，但我们能说“哥德巴赫猜想”是正确的吗？显然不能。

生：是的，我们需要更充分的理由。

正是课堂里老师根据学生学习的需求，呈现数学活动展开的线索，清晰地表达了学习的现场感，使得学生在心理上有了强烈的愿望弄清楚“为什么会这样”。也正是在寻求真相的强烈驱动下，推理能力有了延展的土壤。

于此能力发展将会给学生留下思维的感悟：加法运算有交换律，那其他运算呢？混合运算有无规律呢？这将诱发学生在今后的数与运算的学习中，甚至式的运算中，先从直观特例去寻找突破口，例如和与积的奇偶性、任意数与11相乘的规律、能被2、3、4、5、7、9整除的数特征规律、完全平方式……都可以从关注直观表象开始探索，然后试图充分地说理。

（三）以理性思考夯实推理根基

【片段再现3】

师：同学们的问题提得太好了，你有更充分的理由吗？

生：4+3等于4后面连数3个数，3+4等于3后面连数4个数，最后它们数得的数是一样的，所以4+3必定等于3+4。

生：数数也可以看作一一对应，比如将4+3与3+4摆小棒，3根小棒与3根小棒一一对应，4根小棒与4根小棒一一对应，所以交换两个加数的位置，结果不变。

生：假设我左手有3粒糖，右手有4粒糖，左手的3粒+右手的4粒=一共的糖果数;我右手的4粒+左手的3粒=一共的糖果数，所以说3+4=4+3，因为这两个加法算式表示的都是我手上一共的糖果数。

生：这就相当于我左手伸出4根手指，右手伸出3根手指，但是让同学们来看，在你们的左边是3根手指，右边是4根手指，我伸出的手指数没变，所以4+3=3+4。

生：画线段图也能说明，先画3+4：

将长线段与短线段调换个位置，也就相当于把两个加数交换位置。交换之后，比较总长度，总长不变，便说明交换两个加数的位置，和不变。

生：其实都是同一个道理：两个部分合在一起，不管谁在前，谁在后，总量不变。也就是交换两个加数的位置，和不变。

师：接着这位同学的说法，原来像4+3和3+4这样的算式，从外表上看，两个加数交换了位置，从加法意义上想，其实都是把两个部分之合并到一起。这样不论是多的合并上少的，还是少的合并上多的，尽管摆放的形态不一样，但其总的数量是一样的，即守恒的。

通过“枚举归纳”得出结论，有的学生可能只是依葫芦画瓢，所以合情推理需要再往前走一步，毕竟运算律的学习不能停步于定义，能力的发展得依靠逻辑。但心理学家比格斯说：“小学生学习数学的速度，很慢很慢，孩子们对于抽象能力的形成，对于概念的归纳，需要经历实际活动。”所以“加法交换律”的教学中，老师引导学生主动去多元表征，例如正面反面數手指、线段图、加法的意义，等等。

学习进行到此，在合情推理与演绎推理交融中，学生锻炼了思维的有序性。比格斯曾通过研究，发现学习可以分成三个层次：①量化：学了多少？②工具：技能是否掌握？③本质：数学是你的生活方式吗？无疑，在“加法交换律”的课堂，学生从特殊想起，进而思考至一般化结论，可谓达到了质的学习。这样的教学，学生以数学眼光，打量着周遭世界，以数学思维，试图解释习以为常。

这些多元表征活动经验，也同样是能力的基石，课堂在自学加法结合律的时候，学生很自然地想到之前的图示去表征意义，如教学片段4。

【片段再现4】

师：（再出示一幅课本主题图，补充还有23个同学在踢毽子）：现在参加活动的一共有多少人？

生：先用刚才算的跳绳人数，加踢毽子的23人。

师：我明白了，算式是（28+17）+23对吧？还有别的算法吗？

生：可以先求出女生人数，再加男生人数。

师：我也理解了你的意思，即28+（17+23）对吧？

师：比较这两个算式，你有什么猜想？

生：变得是运算顺序，不变的是数字大小，以及加法的最终结果。

师：其他的三个数相加，一旦具有这样的结构特征，是否也存在这相同的运算特性呢？（组织学生自学教材，自我探究加法结合律。）并投影出示探索步骤：

（1）独立计算课本上两组等式，再小组讨论，左右两边有什么样的现象。

（2）你还能举出其他的例子吗？

（3）试一试，能否举得出反例？

（4）如果你的想法成立，可以用字母表达式来表示这一结论吗？

（5）你还有别的理由说明存在这样的规律吗？

生：课本上两组等式，都和例题一样，三个数相加，都具有无论先把前两个数相加，还是先把后两个数相加，其和不变的结构特征。

生：（42+99）+1=42+（99+1）……

生：举不出反例。

生：（a+b）+c=a+（b+c）。

生：利用课本上的故事就能说明，无论数字怎样改变，前两个数先算求得跳绳人数，后两个数先算求得女生人数，跳绳人数+踢毽子人数是总人数，男生人数+女生人数也是总人数……

生：还可以像学习加法交换律时那样数数，从前往后数和从后往前数的数量多少并没有发生变化。总体是守恒的。

师：这样的规律在数学称之为加法结合律，那么在加法结合律中，变与不变的分别是什么？

生：不变的是数字和数的顺序，变的是运算顺序。

（四）以知识结构化舒展推理枝叶

【片段再现5】

师：在两个数相加的运算中，我们验证了早就认识的加法交换律，并由此想到三个数相加，是否存在一定的规律，通过自行探究，又验证了加法交换律。我们一路前行，现在我们再回头看一下，刚才所学的方法有何妙处？

生：尽管举例子可能不能证实某一种规律是正确的，但只要举出一个反例，便可以否定一种假想。

师：具体说说。

生：例如4-3不等于3-4，所以不存在减法交换律。

生：6÷3不等于3÷6，所以也不存在除法交换律。

生：举例子可以提出猜想，看：3×4=4×3，2×5=5×2，4×7=7×4……這样的例子举不完，似乎存在着乘法交换律。

生：我能证实“交换两个乘数的位置，积不变”。（学生上黑板画出下图）

大家看，正着看是3行三角形，每行4个，即3个4;如果从右面看，则有4行，每行3个，即4个3;但是三角形的总数没有发生变化，所以3×4=4×3。再想象一下，可以看成a行b个三角形，换个角度也可以看成b行a个三角形，道理一样，那么a×b=b×a。

师：能用图示沟联本节课的所学吗？

生：画图如下：

布鲁纳认为：“学习就是关联，当遇见陌生的知识，把它与许许多多已经明晰的知识关联起来，并与其中建构意义，学习也就发生了。”所以教学中，老师促使学生将新知与旧知嫁接，让学生感受新知的获得源于旧知的延续。例如，学生验证了加法具有交换性之后，顺势出示一二年级本身就是运用了加法交换律的情境图等，学生发现加法交换律已经伴随其学习好多年了，只是不知道有“加法交换律”这个特定的称谓罢了。于是散落的一个个知识点，结网成加法的交换性既是运算的一种规律，也是计算的算理，还是简便计算的依据所在。

在教学的尾声，老师通过引导学生回顾加法运算律，并以此诱导学生提出乘法、除法，还有减法有交换律吗？这样加法运算的规律衍生到了四则运算的规律探求，随着学生用反例说明减法、除法没有交换律，用举例子、数数、画图、讲故事等说明乘法具有交换律，数学就真的成了一种生活方式。

三、运算律教学的推理传导作用

在具体的“加法交换律”的教学过程之中，不论是教学新知、变式练习，还是验证猜想、回顾与沟联，各个教学环节，老师都为发展学生推理能力不断埋下“种子”。课堂里，也只有教师这般始终鼓励学生去关注特征、勇于在联想中提出猜想、大胆假设小心验证，才能使学生既敢在智力冒险中创新，又能在寻求真相中习得思维的严谨，于是学生的核心素能通过能力的积淀而可见。

当然，推理、抽象等关键能力的形成不是一蹴而就的，它需要在思维活动的挣扎中，需要在正例与反例的辨析中，需要亲历“知”到“不知”又到“知一点”再到“所以然”的全过程，才能最终实现由数学思考抵达理性精神。

[参 考 文 献]

[1]周立栋.小学数学中的推理及其教学[J].上海教育科研，2016（12）.

（责任编辑：李雪虹）