“一例八变”看二项式展开式的系数和问题

江苏省灌云县第一中学 何 静

二项式定理，其实就是一个关于a，b的恒等式，对于a，b 的一切值都成立.因此，为了解决问题，我们通常可将a，b 设定为一些特殊的值，即赋值法，这个方法能帮助大家解决二项式展开式的系数和问题，然而，如何把这个方法用好，却并非容易的事.那么，面对这类问题究竟如何赋值？让我们一起从具体问题的解决中感悟吧.

引例 已知（3x-1）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a3+a5+a7的值为______.

分析：观察发现展开式中奇数项对应的x 的指数幂为奇数，所以考虑令x=1，x=-1，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到a1+a3+a5+a7的值

解：令x=1，可得28=a0+a1+…+a8；①

令x=-1，可得48=a0-a1+a2-…+a8.②

①-②，可得28-48=2（a1+a3+a5+a7）.

评注：设f（x）=（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.

①令x=1，则有a0+a1+a2+…+an=（2×1+1）n=f（1），即展开式的系数和；

②令x=0，则有a0=（2×0+1）n=f（0），即常数项；

③令x=-1，设n 为偶数，则有a0-a1+a2-a3+…+an=（-1×2+1）n=f（-1）⇒（a0+a2+…+an）-（a1+a3+…+an-1）=f（-1），即偶次项系数和与奇次项系数和的差.再由①③即可求出（a0+a2+…+an）和（a1+a3+…+an-1）的值.

那么在各类考试中，有关二项式展开式的系数和问题还会出现哪些问题呢？

变式1：已知（x2+1）（x-2）9=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a11（x-1）11，则a1+a2+…+a11的值为（ ）.

A.0 B.2 C.255 D.-2

解析：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点，可令x=2，得到a0+a1+…+a11=0，只需再求出a0即可.令x=1可得a0=-2，所以a1+a2+…+a11=2.故选B.

评注：本题要求（x-1）i（i=1，2，…，11）前面的系数之和，只需把x-1 看成整体，令它为1，即可找到x 的赋值为2.

A.16 B.-16 C.1 D.-1

解析：所求（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4），在恒等式中令x=1 可得a0+a1+a2+a3+a4=（2+令x=-1可得所以故选A.

评注：本题将（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2因式分解后，才可确定x 的赋值为1 和-1，利用方程思想，有效地将二项式展开式中偶次项系数和奇次项系数分离.

解析：虽然（2-3x）5展开式的系数有正有负，但（2-3x）5与（2+3x）5对应系数的绝对值相同，且（2+3x）5均为正数.所以只需计算（2+3x）5展开式的系数和即可.令x=1，可得系数和为55，所以｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜+｜a4｜+｜a5｜=55.答案：55.

评注：求系数的绝对值之和，就是将原系数中的负数转化为正数，只需将二项式中的负的系数“转正”，然后令x=1.

变式4：若（1-2x）2019=a0+a1x+…+a2019x2019，则（a0+a1）+（a0+a2）+…+（a0+a2019）=______.

解析：所求表达式可变形为2018a0+（a0+a1+…+a2019），从而只需求出a0和系数和即可.令x=0可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+…+a2019=-1.

所以2018a0+（a0+a1+…+a2019）=2017.答案：2017.

评注：本题要求的表达式中a0出现了2019 个，可将它分离出2018 个出来，于是只需分别赋值0 和1，就可算得a0和a0+a1+…+a2019的值.

解析：所求表达式中的项连续出现2 的指数幂递增的特点，考察待求表达式可发现，令可得，令x=0，可得a0=-1，所以所以所求表达式变形为，而a1x=，所以a1=4026，从而表达式的值为故选D.

评注：变式5 利用了组合数的性质，进而再用赋值法.而变式6 如何赋值需考察所求表达式，由于所求表达式中没有a0，故需先求出它的值.解答本题的关键是将所求表达式根据赋值后的恒等式进行变形.

变式7：已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an-1=29-n，则n 的值为______.

解析：在恒等式中令x=1可得系数和a0+a1+…+an=与条件联系可考虑先求出a0，an，令x=0，可得a0=n，展开式中an为最高次项系数，所以an=1，所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1.所以2n+1-2-n-1=29-n，即2n+1=32，解得n=4.答案：4.

评注：解答本题的关键是利用赋值法先求出a0，an，进而转化为方程问题，本题的亮点是将二项式系数问题与等比数列求和综合在一起.

变式8：若（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是______.

解析：观察所求式子中ai项的系数刚好与二项式展开式中ai所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：（xn）′=nxn-1，从而设f（x）=（2x-3）5，恒等式两边求导再令x=1 可解得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再在原恒等式中令x=0 计算出a0即可.

设f（x）=（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

则f′（x）=5（2x-3）4·2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，

令x=1 可得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，

而在（2x-3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0 可得a0=-35=-243，

所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-233.答案：-233.

评注：解答本题，应从所求表达式的特点联想到导数的应用，就是将原二项展开恒等式两边分别对x 求导，再利用赋值法求值.本题将二项式问题与导数综合起来，体现出数学解题方法的灵活性，体现了导数的创新应用，具有一定难度.

从以上一例八变中不难看出，“赋值法”是二项式展开式的系数和问题的常用方法，它普遍适用于恒等式，对于二项式问题来说，它是一种十分重要的方法，巧妙赋值，能给我们解题带来意想不到的快捷效果.然而如何赋值，却没有固定的模式与规律，一切应从题目的实际出发，根据所求表达式的特征来确定.F