深入应用领域，探讨向量解法

宋现印

[摘  要] 向量是高中数学的基本概念之一，是与代数、函数、几何知识建立联系的纽带，基于该特性可将向量作为一种解题工具应用于数学问题中，并且有着良好的解题效果. 文章结合实例深入探讨向量法在函数运算、解析几何、立体几何三大知识领域的应用，总结技巧与方法.

[关键词] 向量法;函数;解析几何;立体几何

向量是高中数学需要掌握的重要知识内容，需要指出的是向量同样是一种重要的解题工具，利用向量的代数与几何的双重特性，可以简化问题，降低思维难度，有效提升解题效率. 向量法在高中数学解题中有着广泛的应用，如在函数求值、解析几何、立体几何等领域可以适当使用.

函数运算问题

函数是高中数学研究的重点内容，包括函数的性质、图像、单调性、求导方法等，涉及多种类型的题目，具有多种研究方法. 其中向量是研究函数运算类问题较为常用的工具之一，如利用向量的数量积定理来转化函数运算，实现函数关系的直观简洁化.

1. 一般函数

例1：已知函数f（x）= + ，若设函数f（x）的最大值为M，函数的最小值为m，试求 的值.

解析：本题属于函数求值题，相对较为简单，常规的思路是利用函数的性质，但考虑到题干函数具有根号，直接分析有一定的难度，可以考虑从向量角度出发，利用向量法来求解.首先需要结合图形构造出向量，然后根据向量的性质求值，具体如下：

构造向量a=（1，1），b=（ ， ） （-3≤x≤1），则函数f（x）可以表示为f（x）=a·b，根据向量数量积可得f（x）=a·b·cos〈a，b〉=2 cos〈a，b〉，构建图1所示的直角坐标系，则向量b的终点轨迹方程为x2+y2=4（x≥0，y≥0），则其轨迹为圆在第一象限的 圆弧上，很容易可得〈a，b〉的角度范围为0， ，则cos〈a，b〉的取值范围为 ，1，所以f（x）的最小值m为2，最大值M为2 ，进一步可得 = .

方法与技巧：在函数求值中使用向量法，需要结合函数的表达式构建相应的向量，然后用向量之间的运算加以表示，并确定向量参数的取值范围，如上述 + ？圳（1，1）·（ ， ）. 而在求值分析时可以适当地结合向量图，利用图像的直观性分析.

2. 三角函数

例2：已知△ABC，顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中∠A为最大角，∠B和∠C为锐角，已知 = + ，试证明 = = .

解析：本题为三角形中向量关系的证明题，需要利用三角形的几何性质来构建关于线段长的关系，可以在三角形中作垂线，则垂直线段的向量数量积为零，然后以此为条件展开推导，具体如下：

过点A作BC上的垂线，垂足为点D，如图2所示，设∠DAC=α，则 · =（ + ）· = · + · =0，即 · ·cos（90°+B）+ · ·cosα=0，其中α=90°-C，所以csinB-bsinC=0，即 = ，同理可得 = ，所以 = = ，证毕.

方法与技巧：上述是利用向量数量积为零的几何意义来求证正弦定理的具体过程，其中证明的关键是在几何中构建向量关系，并将其转化为纯代数的等式. 整个过程利用了向量投影形成的三角函数，也是证明三角形中邊角关系的重要策略.

解析几何问题

平面向量可融合数形为一体，故利用向量法分析解析几何问题有着极大的便利性，并且切合度很高. 在使用向量分析时往往需要充分利用向量的坐标运算来转化几何关系，从而将解析几何中的数与形联立在一起.

1. 角度类问题

例3：已知椭圆C的方程为 + =1，其焦点分别为F1和F2，已知点P是椭圆上的一个动点，连接F1P，F2P，当∠F1PF2为钝角时，试求点P横坐标的取值范围.

解析：本题需要研究椭圆内所构角为钝角时动点的坐标取值，用常规的方法是利用两直线的夹角，引入斜率来完成，但相对较为烦琐，运算量较大.对于解析几何中涉及角度的问题，可以考虑使用向量法，利用向量数量积来完成，具体如下：

由已知条件可确定两焦点的坐标：F1（- ，0），F2（ ，0），设动点P的坐标为（x，y），当∠F1PF2为钝角时，向量 和 所成向量数量积小于零，即 · =（x+ ，y）（x- ，y）=x2-5+y2<0，又已知 + =1，代入可得-

方法与技巧：利用 · <0来证明∠F PF 为钝角，可以将几何角问题转化为向量数量积问题，后续只需要研究坐标代数运算即可. 向量数量积的符号与其夹角有关，若小于零，则为钝角;若大于零，则为锐角;等于零，则为直角，因此向量数量积的符号与几何角有着紧密的联系.

2. 直线方程类问题

例4：如图3所示，点A（3，-1）是直线l上的一点，直线l与x轴相交于点B，与直线l1：y=2x相交于点C，已知BC长是AB的2倍，试求直线l的方程.

解析：求解直线l的方程，常规的解法是求解其上的两个点，利用待定系数法完成，考虑到本题给出了线段长之间的关系，也可以引入向量来求解，具体如下：

设点C的坐标为（x1，y1），根据题意可将直线l的方程表示为y+1= ·（x-3），可得点B的坐标为 ，0，由BC=2AC可得 =3 ，代入坐标可解得x1=1，所以整理可得直线l的方程为3x+2y-7=0.

方法与技巧：上述利用了BC=2AC？圳 =3 来转化解析几何中线段关系，是直线方程问题中几何条件向向量关系转化的常用策略，也是构建代数方程求解参数的有效方法，实际上利用了向量的坐标运算.

立体几何问题

在立体几何中同样可以运用向量法来分析求解，立体几何的问题类型较多，大致可以分为几何关系证明和数量关系分析，其中尤以二面角求值、平行垂直证明最为常见.在使用向量法加以分析时主要有两种思路：一是引入空间向量，利用向量的坐标运算来完成;二是直接使用设定线段对应的向量，分析向量关系.

1. 几何关系问题

例5：图4所示为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，已知六面体的上下底面为菱形，若∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，试回答下面问题：

（1）证明：C1C⊥BD;

（2）求值：当 为何值时可以确保线段A1C⊥平面C1BD，请写出证明推导过程.

解析：本题为常见的垂直类问题，需要证明六面体中的线线垂直、分析线面垂直时的满足条件，实际上可以归结为角度问题.分析求解时可以引入向量，利用向量的坐标运算来完成，具体如下：

（1）证明：设 =a， =b， =c，根据平行六面体的性質可知a=b，且 ， ， 两两向量所形成的夹角相等，设为θ，则有 = - =a-b， · =c·a-c·b=c·acosθ-c·b·cosθ=0，所以线段C1C与BD垂直，即C1C⊥BD，证毕.

（2）分析A1C⊥平面C1BD时 的值，如果要使A1C⊥平面C1BD，根据线面垂直的判定定理，需要使A1C与平面C1BD上的两条相交线垂直，即须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由 · =（ + ）·（ - ）=（a+b+c）·（a-c）=a2+a·b-b·c-c2=a2-c2+b·acosθ-b·c cosθ=0，可知当a=c时有A1C⊥DC1;同理可证当a=c时有A1C⊥BD. 所以当 =1时可以确保线段A1C⊥平面C1BD.

方法与技巧：垂直问题的证明与分析难点在于线面关系与数量关系的互化，上述证明两直线的垂直利用的是a⊥b？圳a·b=0，具体证明时只需要分析两直线对应向量的数量积是否为零，其关键还是分析线段的夹角问题，需要注意的是区分条件中的几何角与向量夹角.

2. 二面角求值问题

例6：图5所示为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，已知其底面ABCD为一梯形，且AB∥CD，AD⊥DC，若CD长为2，DD1，DA，AB的长度均为1，现作CC1，C1D1的中点，分别设为点P和Q，试求二面角B-PQ-D的大小.

解析：求解立体几何中的二面角问题，较为简捷的方法为引入空间向量.首先根据图中的垂直关系来构建空间坐标系，包括原点位置和三条轴的方向，然后确定关键点的空间坐标，推导相关向量的坐标，接着求解两个平面的法向量，利用法向量的夹角来求得两平面所形成的平面角大小. 具体如下：

建立如图所示的空间坐标系D-xyz，确定点坐标：B（1，1，0），P0，2， ，A（1，0，0），Q（0，1，1），推导关键向量 =（1，0，0）， =-1，1， ， =（-1，0，1）.

分析可知 是平面PDQ的法向量，设面BPQ的法向量n=（x，y，z），则有n⊥ ，n⊥ ，对应的向量数量积应为零：n· =0，n· =0，根据向量数量积的坐标运算构建对应的方程组，可求得BPQ的法向量n=（2，1，2），所以cos〈n， 〉= = ，观察图中可知二面角B-PQ-D应为锐角，则〈n， 〉= arccos ，所以B-PQ-D的大小应为arccos .

方法与技巧：利用向量法求解两平面所形成的夹角，需要首先求其法向量，利用法向量与平面夹角的关系来转化，若m和n分别是平面α和β的法向量，则对应二面角的计算公式为γ= （其中γ为两个法向量的夹角），需要注意的是要观察图中二面角的角度大小，若为锐角或直角，则为γ;若为钝角，则为π-γ.

总之，利用向量法解题首先需要理解向量的概念，掌握向量的运算定理，强化对向量的本质认识，并从联系性角度学习向量的关联知识，尤其是向量运算与几何性质的关系. 利用向量法解题实际上是向量坐标运算的“数”与“形”互化的体现，是一种新型的解题思维和视角，可以极大地降低思维难度，提升解题效率，也是新课改所大力提倡的. 教师在平时的解题教学中可以合理地渗透向量解题的思想方法，使学生获得终生受益的知识技能.