例谈高中数学教学中的例题设计

孙立

[摘  要] 轻视教材例题、忽略概念核心、忽略数学思想的例题设计在当前的高中数学教学中时有出现. 高中数学教师应充分挖掘教材例题的内涵并进行循序渐进的例题、习题的设计和教学，使学生能够在聚焦概念核心、凸显数学思想的例题中获得概念的深刻理解.

[关键词] 例题设计;误区;对策;教材;概念核心;数学思想

概念教学在新课程改革的逐步推进和深化过程中越发受到关注与重视，强调让学生经历概念的形成过程这一观点与教学模式也因此在广大数学教育者的视野中越发重要. 很多教师在观摩课、研讨课、优课评比中都展现出了相当独到的见解，但很多教师在概念教学中的例题设计上却存在着一定的问题，比如例题过于简单、照本宣科、放任学生自学、例题脱离概念核心等现象时常可见，这些问题的存在往往导致例题中蕴含的数学思想方法不能得到充分的挖掘.

概念教学例题设计的常见误区

1. 轻视教材例题

经过专家们深思熟虑、精心设计的教材例题是符合学生认知规律的，这些具备典型性、示范性、科学性、指导性等特征的教材例题是实施教学的精品资料，但有的教师在实际教学中却往往会自作主张地寻找一些“好题”来辅助教学，这种不切实际、盲目拔高的例题选择与教学往往会令结果适得其反.

案例1：我校某教师在校级公开课中执教了“组合”第一课时，执教老师将教材中的例题搁置一边，却选择设计了以下例题：

例1：本班同学一共上交了50本作业，如果老师要从中抽选4本进行检查，共计多少不同选法？

变式：我班同学的50本作业混在一起，若每人随意取一本并产生了48人拿到了自己作业的结果，出现这种结果有几种可能？

追问：若47人拿到自己的作业呢？

例2：图1中有多少个长方形？

变式：图2中有多少个长方形？

执教老师设计的这两个例题是在学生刚刚接触计数原理、排列和组合知识之时提出的，这对于学生来说显然会存在思维跨度过大的问题，本课的概念核心无形中也会被冲淡. 例2对于学生的知识迁移能力显然提出了更高的要求，精致概念的作用也就无从谈起了.

2. 忽略概念核心

“变式”这种目前例题、习题呈现的主要方式在概念的本质属性上并未做出改变，改变的是问题中的条件或结论、形式或内容，这种形式的出现能够帮助学生更好地克服思维定式中的消极因素并更好地掌握概念的应用. 不过也有不少教师在变式教学中过于注重形式的呈现，概念核心与本质却遭到了忽视.

案例2：我校另一位教师在“组合”第一课时的教学中设计了如下变式例题：

例题：已知平面内有10个点，若以其中每2个点为端点进行连线，则由此形成的有向线段一共有多少条？

变式1：已知圆上有10个点，若经过每2个点作弦，则由此可作出多少条弦？

变式2：已知圆上有10个点，若经过每3个点作内接三角形，则由此形成的圆内接三角形共有多少个？

变式3：凸十边形的对角线一共有多少條？

变式4：凸n（n>3）边形的对角线一共有多少条？

变式5：已知平面内有10个点，若其中有4个点共线，此外不存在3点共线情况.

（1）任意连接这10个点可获得多少条直线？

（2）任意连接这10个点中的3个点可获得多少个三角形？

这是一组具备情境与背景支撑且紧扣“组合”的特征所设计的变式，不过这组变式所做出的变化仅仅局限在应用环境上，揭示概念核心与本质的变化显然没有得到彰显.

3. 忽略数学思想

概念教学中的例题可以帮助学生更好地理解概念的内涵和外延，还能帮助学生将知识转化为能力. 不过题目难度过大、过于技巧化、与当前内容脱节、忽略数学思想等教学误区仍有存在.

案例3：我校某教师在“直线的倾斜角和斜率”一课中的例题变式设计如下：

例1：已知直线的斜率与倾斜角分别为k和α，若 <α< ，则k的取值范围如何？

变式：已知直线的斜率与倾斜角分别为k和α，若-1

练习1：若直线的倾斜角是α，且sinα= ，则该直线的斜率应为多少？

练习2：已知直线y=xsinθ-1，则该直线的倾斜角的范围怎样？

该例题与练习题的设计难度较大，技巧化也很强，显然这是对概念核心思想和本质并未准确把握而造成的.

设计对策和原则

1. 重视教材开发

充分吃透教材并将其中的概念、公式、定理转化成便于学生理解的“教育形态”知识，才能使其潜在的教学功能得到挖掘与开发并促进学生掌握.

案例4：笔者在“抛物线”的教学中，充分理解教材并进行二次开发，设计了如下例题：

题1：某平面内，点P和点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程怎样？

学生根据定义及直线移动的方法得到轨迹方程如下：y2=8x（x≥0）.

题2：某平面内，点P和点F（2，0）的距离比它到直线x+1=0的距离大1，则点P的轨迹方程怎样？

同上可得轨迹方程：y2=8x（x≥0）.

题3：某平面内，点P和点F（2，0）的距离比它到直线y轴的距离大2，则点P的轨迹方程怎样？

有学生因为思维定式得出结论：y2=8x（x≥0）.

从图像上看，x轴负半轴上的点都满足条件，因此方程有：y2=8x（x≥0）和y=0（x<0）.

事实上，根据求轨迹的一般方法可得如下列式： =x+2，分类讨论：当x≥0时，y2=8x;当x<0时，y=0.

追问：题1、题2中只求得了一个方程，会不会漏解了？

题4：某平面内，点P和点F（2，0）的距离比它到直线x-1=0的距离大3，则点P的轨迹方程怎样？

列式计算可得轨迹方程y2=8x（x≥1）和y2=-4（x-3）（x<1）;让动点到直线的距离和到定点的距离相等是几何方法过程中移动直线的关键，将直线x-1=0左移三个单位是需要考虑的，直线右移三个单位的情况同样需要考虑，如图3即为将直线左移、右移三个单位所形成的抛物线叠加的轨迹.

学生的学习热情得到大力激发的同时也对数形结合思想获得了更为深刻的理解.

2. 循序渐进

建立在学生已有知识基础上的问题设计才能引起学生的认知冲突，使其思想上产生一定的共鸣并为其留下思考的余地.

案例5：“几何概型”概念与计算公式中的例题设计：

题1：已知x，y∈[0，6]且x，y∈N，试求事件“x-y≥3”的概率.

题2：已知x，y∈[0，6]且x，y∈R，试求事件“x-y≥3”的概率.

新旧知识之间的联系和差别在此例题的设计中得到彰显，古典概型到几何概型的延伸也在一个字的改动中充分体现.

3. 聚焦概念核心

设计着力点聚焦于概念核心上的例题往往更加有助于概念的理解与应用.

案例6：函数概念教学之后的例题设计：

题1：表1所示数据为学生做水龙头漏水实验时采集的，量杯的最大容量为100毫升.

（1）继续做实验的话，量杯内的水将会在多少秒后溢出呢？

（2）以上所得为一次函数吗？理由何在？

题2：如图4，小明和小华做水龙头漏水实验时采集了一些数据并描述在了直角坐标系中，这两个图像不同的原因在哪里？图5描述的是水龙头漏水實验的数据，图像表达了什么？

函数味道很浓的两道例题将函数概念要表达的内容一一体现了出来，学生深刻地理解函数概念的同时也会充分地感受到数学的作用.

4. 要渗透思想方法

渗透思想方法的例题设计能帮助学生领悟知识的内涵并掌握更为有效的解题技能.

案例7：“等差数列及其前n项和公式”的例题设计：

例1：已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+ ，试求其通项公式. 该数列是否为等差数列？若是，其首项如何？公差如何？

例2：已知等差数列5，4， ，3 ，…，记其前n项和为Sn，则当Sn最大时序号n的值如何？

以思想方法为主线的例题设计能够帮助学生顺利建立知识点之间的串联并最终获得概念学习的深刻领悟.