正、 余弦定理与三角形面积结合的两种题型

尚甜甜

【摘要】纵观近些年来的高考题，正、余弦定理并不是单一地出现在高考题中，而是和函数、向量、三角形等结合起来，本文主要探究它和三角形面积结合出现的两种题型.

【关键词】正弦定理;余弦定理;三角形面积公式

一、已知边长和角度求三角形面积问题

例1 （2014·全国）已知a，b，c分别是△ABC的对应边，a=2，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC面积的最大值是多少.

分析 三角形的面积公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，分析已知条件知道：要想求出面积，必须从已知条件推出另外一条边的长度和一个角的正弦值，而要求三角形面积的最大值，很明显看出与均值不等式有关.

解 ∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，∴（a+b）（a-b）=（c-b）c即：a2=b2+c2-bc，又∵a=2，由均值不等式可以得到bc≤4，当且仅当b=c时等式成立.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12.又∵sin2A+cos2A=1，∠A为三角形的内角，∴sinA=32，∴Smax=12bcsinA=3.

反思 在知道一条边的长度时要运用三角函数的诱导公式、正余弦定理来进行边化角、角化边来得到我们想要的条件，那如果已知的是三角形的一个角我们怎么来计算呢？是不是和已知边的算法一样呢？接下来我们来看：

例2 （2014·山东）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，cosA=63，B=A+π2.求：（1）b的值;（2）△ABC的面积.

分析 在解决第二问的时候，通常要用到第一问的结论为已知条件来解决第二问.

解 （1）由正弦定理很容易解得b=32.

（2）∵sinC=sin（A+B），∴asinA=csinC=csin（A+B），

又∵sinC=13，∴c=3，

∴S=12bcsinA=12·32·3·33=322.

（在求这个三角形面积的时候，重点是要注意隐藏条件：三角形的内角和是180度，所以sinC=sin（A+B））

总结 对比例1和例2我们知道：要求三角形的面积，需要用诱导公式、正余弦定理来进行边化角、角化边来得到想要的条件.边角转化一般有两个途径：一个是已知边用正弦定理来化为角;另一个是已知角用余弦定理来化为边;在选用三角形面积公式的时候，知道哪个角或者哪个角好求出来就用哪个公式.

二、已知面积求边长、角度和周长

例3 （2017·全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA求：（1）sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

分析 当已知的面积里有二次项的时候，通常要对其进行降次处理，然后选择合适的面积公式;要求三角形的边长，即要化角为边，在已知条件很少的时候，要恰当地运用第一问的结论.

解 （1）很容易解得：sinBsinC=23.

（2）∵6cosBcosC-sinBsinC=1-23，

∴cosBcosC-sinBsinC=-12，即cos（B+C）=-12.

又∵∠B，∠C为三角形内角，∴∠B+∠C=2π3，

∴∠A=π3.

又∵12bcsinA=a23sinA，其中a=3，解得bc=8，①

∴由a2=b2+c2-12bccosA，得b2+c2-bc=9.②

结合①②可得b+c=33，

∴三角形的周长C=a+b+c=3+33.

反思 在求周长的时候，我们运用了设而不求，整体代换来求得最后的答案，设而不求是解三角形周长常用的方法，那如果我们要求三角形的边长呢？我们可以用这个方法吗？求边长和求周长之间有联系吗？下面我们来看例4：

例4 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2.

（1）求cosB;（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.

分析 要求边长，已知三角形的面积，运用三角形面积公式，还要把第一问的答案当作已知条件来运用.

解 （1）进行降幂处理后易得出：cosB=1517.

（2）由（1）知cosB=1517，所以sinB=817，

∴S=12acsinB=417ac=2，∴ac=172.

又∵b2=a2+c2-2accosB，

∴b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），得b=2.

（在解答過程中，我们也用了设而不求的方法，把ac和a+c当成一个整体代入余弦定理中，从而算出b的值）

总结 在求三角形的边长或周长的时候都用到了设而不求、整体代换的方法;先用面积公式算出两边长的乘积，再运用余弦定理算出这两条边的和，再运用条件和已知结论求得结果.

【参考文献】

[1]张一.正、余弦定理在解决三角形问题中的应用[J].教育教学论坛，2010（17）：76-77.

[2]代润达.与三角形面积有关的最值问题的求解策略[J].传播力研究，2018（3）：113-115.