例谈解析几何中与圆有关的参数范围问题

唐杰

【摘要】纵观近几年高考对圆的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.它要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.本文通过一道与圆有关的题目的解析，探究了所给问题中不等关系的主要途径与策略.

【关键词】高中数学;解析几何;参数范围;途径与策略

解析几何中的参数范围问题是高考中的常考内容，也是备考复习的重点问题，这类题目综合性较强，需要较强的图形认知能力和代数运算能力.在求解过程中要注意思维的严密性，同时还要注意数形结合、函数与方程的化归与转化等数学思想的应用.对此，一般情况下的解题思路，是首先寻觅出（或直接利用）不等关系，包含几何与代数的不等关系，进而通过这个不等关系的演变解出有关参数的取值范围.

一、经典题目再现

已知圆O：x2+y2=2，设点D（x0，y0）在直线l：x+y-2=0上，若圆O上存在点M、N满足DM=MN，求x0的取值范围.

二、“四基四能”解析

本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想.

三、解题思路解析

涉及直线与圆的位置关系的题目，首先应判定直线与圆的位置关系.圆心O到直线l的距离d=2=r，则该直线与圆相切.其次，由DM=MN得M为DN的中点，故本题即为由存在M为DN的中点，求D点横坐标x0的范围，需要构造一个不等关系来求范围.因此，如何构造一个不等关系是解决本题的关键.

四、构造策略分析

解析几何的思想就是用代数的方法研究几何，因此，在解题的过程中，一定要关注图形的特征及代数属性，在构建关系中就需要从几何的角度和代数的角度探求不等关系.几何角度，就是要利用相关的曲线的性质及平面几何知识得到不等关系;代数角度，就是构造“目标函数”，然后再去求“目标函数”的最值，从而得到不等关系.

1.几何角度一：利用圆中的几何特征构造不等关系：① 在圆中，直径为最长的弦.② 圆外一点与圆上一点的最短距离为改点到圆心的距离减去半径.

解 如图所示，连接DO交圆于F，并延长交圆于E.圆的半径r=2.

由圆的性质知：DF为D到圆上任意一点距离的最小值，

故DF≤DM.

∵DM=MN，∴DM=MN.

∵EF为直径，∴MN≤EF，∴DF≤EF，∴OD-OF≤EF，

即OD≤OF+EF=3r=32，∴x20+y20≤32.

又x0+y0-2=0，

∴x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

2.几何角度二：利用轨迹的位置关系构造不等关系：利用直线与圆的三种位置关系及圆与圆的五种位置关系构造不等关系.

解 ∵DM=MN，∴M为DN中点.

设N（x1，y1），则Mx1+x02，y1+y02，由于M，N在圆上，则

x1+x022+y1+y022=2，x21+y21=2，

即（x1+x0）2+（y1+y0）2=8，x21+y21=2，

∴（x1，y1）是（x+x0）2+（y+y0）2=8，x2+y2=2 的解，

∴圆（x+x0）2+（y+y0）2=8与圆x2+y2=2有公共点，即为相交或者相切（内切与外切），

∴2≤x20+y20≤32，即2≤x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

3.代數角度：利用函数构造不等关系：直线与圆相交，一定要抓住弦心距这个关键量，抓住特征三角形这个特殊图形，探寻弦长、半径及弦心距之间的关系.

解 连接DO，过O作OG⊥MN于G，则G为MN中点，且DG=3ON，设OG=d，

则ON=2-d2.

在Rt△DOG中，

DO2=OG2+DG2=OG2+（3ON）2

=d2+9（2-d2）=-8d2+18.

∵0≤d<2，∴0≤d2<2，∴0

∴0

解得1-2≤x0≤1+2.

本题较好地阐述了在解析几何中如何去探求不等关系，要从图形的结合属性，直线与曲线的位置关系，曲线与曲线的位置关系，函数等角度去构造不等关系，这些问题的解决考查了学生直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养，对学生发现问题、分析问题及解决问题的要求比较高，需要在平时的教学中多引导学生去思考，去实践.