《九章算术》方程术与初等变换之实例详解

姚秀凤

【摘要】本文主要是以《九章算术》中一题目作为实例，详尽解析《九章算术》中方程术的解法，并与现今矩阵的初等变换做对比.《九章算术》中所谓“方程”专指多元一次方程组，解法是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”，运用直除法进行消元，这个过程与现今《线性代数》中矩阵的初等变换一致.从中感受我国古代科技之进步.

【关键词】《九章算术》;方程术;初等变换

矩阵初等变换是求解线性方程组的重要方法，今天广泛应用的线性方程组的解法是十七世纪由莱布尼茨提出的.而实际上，在我国公元前的汉代，张苍等整理校订的《九章算术》一书，即提出了线性方程组的概念，并系统的总结了线性方程组的求解算法.这一科学论述远远早于欧洲.在这本《九章算术》中，第八卷方程術主要讲述了由线性方程组的系数排列而成的长方阵的问题，使用的直除法与现在矩阵的初等变换一致.下面以其中一道题目为例，对比两种解法.

一、《九章算术》题目原文

问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一;中禾一秉，四斗四分斗之一;下禾一秉，二斗四分之三.

方程术曰：置上禾三秉，中禾一秉，实三十九斗，于右方.中、左禾列如右方.以右行上禾遍乘中行，而以直除.又乘其次，亦以直除.然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除.左方下禾不尽者，上为法，下为实.实即下禾之实.求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实.余如中禾秉数而一，即中禾之实.求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实.余如上禾秉数而一，即上禾之实.实皆如法，各得一斗.

简单注释：禾，谷类作物的总称;“秉”，束，捆;“上、中、下”，为谷类作物等级;“实”，作物收获后的谷类粮食;“方程术”，方为所列方形数阵，程为数据之间比率关系，术为解决方法.“除”是减，“直除”即连续相减

此题目译为：今有上禾3束，中禾2束，下禾一束，得实39斗;上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗;上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗.问上、中、下禾每一束得实各多少？

二、方程术与矩阵变换

（一）方程术步骤一

上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九，于右方.中、左禾列如右方.（上禾3束，中禾2束，下禾一束，结实39斗，列到右行.上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗;上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗.参照右行的列法.）

此题如果用古代算筹演算，列法应为：

此题目用线性方程组表示为：

设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x，y，z，则有

3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26， 求x，y，z的值.

（1）列出其增广矩阵：321392313412326 .

（此矩阵是按照现在从左向右的书写习惯，先变量系数后常数项，横向排列.）

（二）方程术步骤二

以右行上禾遍乘中行.（用右行上边的禾数3乘中行的每一个数）

左行中行右行

上禾13×2=63

中禾23×3=92

下禾33×1=31

实263×34=10239

（2）此步骤对应矩阵初等变换

r2×33213969310212326.

三、总 结

《九章算术》中所谓“方程”是专指多元一次方程组，与现在“方程”的含义并不相同.《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之为“方程”），而直除法的消元过程，相当于《线性代数》中的初等变换.稍有不同之处是，我国古代算筹的摆放与书写习惯是以右为先竖向排列，现代书写以左为先横向排列.本文中，为了使方程术的解题过程一目了然，将《九章算术》的解题步骤尽量逐步拆解开，因而，使得过程显得过于烦琐.

《九章算术》中关于代数学方面的成就非常巨大，第八卷对“方程”解法方面的成就尤为显著.多元一次方程组的解法在印度最早出现于第七世纪（约628年），在欧洲最早提出三元一次方程组解法的是16世纪中（1559年）的法国数学家布丢（Buteo），至于线性方程组的一般理论，直到18世纪（1779年）才由法国数学家别朱（E.Be-zout）建立.可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产.读之让我们可从中感受到我国古代科学技术之先进，今天中华文化自信之源起.

【参考文献】

[1]张苍，等.九章算术[M].邹涌，译解.重庆：重庆出版社，2015（9）.

[2]曹媛.浅谈《九章算术》对古今数学的影响[J].天津职业院校联合学报，2013（12）：72-73.

[3]杜石然.《九章算术》中关于“方程”解法的成就[J].数学通报，1956（11）：26.